(a)
(ア) まず、A \cup (B \cap C) \subset (A \cup B) \cap (A \cup C) を示す。
x \in A ならば、x \in (A \cup B) であり x \in (A \cup C) .
x \in (B \cap C) ならば x \in B だから x \in (A \cup B) であり
x \in C だから x \in (A \cup C) である。
A \cup (B \cap C) \supset (A \cup B) \cap (A \cup C) を示す。
x \in (A \cup B) \cap (A \cup C) とする。
x \in A ならば x \in A \cup (B \cap C) .
x \not \in A としよう。
x \in (A \cup B) であるが、x \not \in A より X \in B ,
また x \in (A \cup C) より X \in C .
よって X \in (B \cap C) , よって X \in A \cup (B \cap C) .
(イ) (ア) と同様。

(b) (\Rightarrow) はいずれも明らか。(\Leftarrow) を示す。
(ア) C \not \subset A とすると、\exists x \in C \setminus A .
x \in (右辺) だが x \not \in (左辺) .
(イ) A \neq B ならば、\exists x \in A \setminus B または
\exists x \in B \setminus A .
前者であるとしよう。
x \in C ならば x \in A \cap C だが x \not \in A \cap B ,
x \not \in C ならば x \in A \cup C だが x \not \in A \cup B .