形式的に、
\arctan(\(\frac{y}{x}\)) = arctan(tan \theta) = \theta ,
\int \arctan(\(\frac{y}{x}\)) dxdy = \int r\theta drd\theta .

１月１１日に質問して、１月１４日にＣnonymous Ａwardにアドバイスを
いただいたのですが、アドバイスでの記号の意味が分かりません。

Cononymous Awardさんからは、たくさんのアドバイスをいただいております。
再質問がありましたので、私から解答させていただきます。

tan‐1　←ｱｰｸﾀﾝｼﾞｪﾝﾄ　は、arctan　と書くこともありますので、
問題は、tan‐1(\(\frac{y}{x}\))＝arctan(\(\frac{y}{x}\))となります。
極座標（ｒ，θ）を用いて解くと、
ｘ＝ｒcosθ、ｙ＝ｒsinθ
二重積分は、極座標を使って、
∫∫ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝∫∫ｆ（ｒ，θ）ｒｄｒｄθ
と変形できる。

tanθ＝\(\frac{y}{x}\)　より、arctan(\(\frac{y}{x}\))＝θ
ｆ（ｘ，ｙ）＝arctan(\(\frac{y}{x}\))だから、ｆ（ｒ，θ）＝θ
Ｄ＝｛x＾2+y＾2≦a＾2 , x≧0 , y≧0｝より、
Ｄ＝｛ｒ^2≦a＾2 ,０≦θ≦π/2　｝
　＝｛０≦ｒ≦ａ，０≦θ≦π/2　｝

したがって、
∬D tan‐1(\(\frac{y}{x}\))dxdy＝∬D θｒｄｒｄθ

　　π/2　　　ａ
＝∫　　ｄθ∫　ｒθｄｒ
　　０　　　　０

　　π/2　　　　　　　　　ａ
＝∫　　ｄθ［（ｒ^\(\frac{2}{2}\)）θ］
　　０　　　　　　　　　　０

　　π/2
＝∫　｛（ａ^\(\frac{2}{2}\)）θ｝ｄθ
　　０

　　　　　　　　　　　　π/2
＝（ａ^\(\frac{2}{2}\)）［（θ^\(\frac{2}{2}\)）］
　　　　　　　　　　　　０

＝（ａ^\(\frac{2}{2}\)）｛（π/2）^\(\frac{2}{2}\)　｝

　ａ^2　π^2　（πａ）^2
＝――・――＝―――――　……（答）
　２　　８　　　１６