数学Ⅲで微分が終わっているなら・・・

(1+x+\(x^{2}\))^(\(\frac{1}{x}\))の対数をとって考えましょう。(底は自然対数e)

log{(1+x+\(x^{2}\))^(\(\frac{1}{x}\))}={log(1+x+\(x^{2}\))}/xであり、
ここで、lim(x→0){log(1+x+\(x^{2}\))}/x　は
関数log(1+x+\(x^{2}\))のx=0における微分係数を定義に従って求める式に他ならない。
よって、{log(1+x+\(x^{2}\))}’=(1+2x)/(1+x+\(x^{2}\))より
x=0における微分係数は1
よって、元の極限値はe

また、ロピタルの定理でも同様の計算となります。

これを定義に従って求めるのは、自然対数eの公式を利用して解くのでしょうが・・・。

(1+x+\(x^{2}\))^(\(\frac{1}{x}\))=(1+x+\(x^{2}\))^{(1/(x+\(x^{2}\)))(x+\(x^{2}\))/x}
=(1+x+\(x^{2}\))^{(1/(x+\(x^{2}\)))(1+x)}->e as x->0

x→0なので、x≠1と考えていいですね。
したがって
1+x+\(x^{2}\)=(1-\(x^{3}\))/(1-x)
よって
(1+x+\(x^{2}\))^(\(\frac{1}{x}\))=(1-x)^(-\(\frac{1}{x}\))・(1-\(x^{3}\))^(\(\frac{1}{x}\))
={1+(-x)}^(-\(\frac{1}{x}\))・[{1+(-\(x^{3}\))}^(-1/\(x^{3}\))]^(-\(x^{2}\))
\(\vec{e}\)・e^(-\(x^{2}\))\(\vec{e}\)・1=e　(x→0）