14 年後ですな。

恥ずかしながら、この問題・・・
落とし穴にすっかりはまってしまいました。
その落とし穴とは
ｎ年後を考えればいいのだから
最初の年始め 100,000
１年後　　　 100,000(1+1.08)
２年後　　 　100,000(1+1.08+1.0\(8^{2}\))
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
ｎ年後　　 　100,000(1+1.08+1.0\(8^{2}\)+・・・+1.0\(8^{n}\))
これが２４０万円を超えるから
1+1.08+1.0\(8^{2}\)+・・・+1.0\(8^{n}\)＞24を解けばいい
ところが
ｎ－１年後の終りにまだ２４０万に満たなくて
ｎ年目の最初に100,000を積み、
ｎ年後に２４０万を超えていれば
100,000を積まなくていいわけです。
上の場合は、ｎ＋１年目の最初に100,000を積んだことになります。
こんな穴にはまってしまったのは私だけかもしれませんが
問題の意図を的確にとらえていない悪い例です。

（回答）
１年目の100,000円はｎ年分の利子がつくので
ｎ年後には　100,000×1.0\(8^{n}\)
２年目の100,000円はｎ－１年分の利子がつくので
ｎ年後には　100,000×1.08^(n-1)
これをｎ年目まで繰り返すと
ｎ年目の100,000円は１年分の利子がつくので
ｎ年後には　100,000×1.08
これらの合計が元利合計で、２４０万を超えていればいいので
1.08＋1.0\(8^{2}\)＋・・・＋1.0\(8^{n}\)＞24
左辺は、等比数列の和だから
1.08(1－1.0\(8^{n}\))/(1－1.08)＞24
1.08^(n+1)＞３・・・①
以下、対数の底は10として
log1.08＝log(\(\frac{27}{25}\))＝3log3－2(1-log2）
＝1.431－1.398＝0.033
よって①の両辺の常用対数をとると
0.033(n+1)＞0.477
これを解いて
n＞13.45・・・
これを満たす最小のｎが求めるものだから
答は　１４年後