いま学校で積分演習をやっているのですがいまいちよくわかりません。
三問ほどですがおねがいします
一問目
数列{Cn}を次の式で定める。
Cn=(n+1)∫0から1 (\(x^{n}\)・cosπx・dx)(n=1,2,,,,)
このとき次の問いに答えよ
(1)CnとCn+2 の関係を求めよ
(2)Lim n→∞ Cn を求めよ
(3) (2)で求めた極大値をcとするとき
Lim n→∞ (Cn+1-C/Cn-C)を求めよ
二問め
nは自然数とし、An=(1+\(\frac{1}{2}\)+\(\frac{1}{3}\)+、、、+\(\frac{1}{n}\))-logn
とおく。y=\(\frac{1}{x}\)(x>0)のグラフと∫\(\frac{1}{x}\)・dx を考えることにより、数列
A1,A2,A3,,,,,,,An,,,,,の性質を調べる
(1)An>\(\frac{1}{n}\)(n≧2)を示せ
(2)An>An+1 を示せ
(3) y=\(\frac{1}{x}\) (x>0) のグラフが下に凸であることを用いて
\(\frac{1}{2}\)(\(\frac{1}{n}\) + \(\frac{1}{n}\)+1)>log(n+1)-logn を示せ
(4) An>(\(\frac{1}{2}\) + \(\frac{1}{2}\)n) (n≧2)を示せ
最終問題
次を示せ
(1)log(n+1)＜1 + \(\frac{1}{2}\) + \(\frac{1}{3}\) 、、、+\(\frac{1}{n}\) (n=1,2,3,,)
(2)Lim n→∞ {\(\frac{1}{l}\)ogn ・Σ k=1～n (1/K)}=1
(3)Lim n→∞ {\(\frac{1}{l}\)ogn・∫1～n+1(|sinπ\(\frac{x}{x}\)|dx)}
=∫0～1 (sinπy・dy)=2/π
問１
（１）
Ｃn ＝（ｎ＋１）∫0 1 （ｘn ｃｏｓπｘ）ｄｘ
ｘn+1 ｘn+1
＝（ｎ＋１）｛［───ｃｏｓπｘ］0 1 －∫0 1 ───（－πｓｉｎπｘ）ｄｘ｝
ｎ＋１ ｎ＋１
１ π
＝（ｎ＋１）｛－───－０＋───∫0 1 （ｘn+1 ｓｉｎπｘ）ｄｘ｝
ｎ＋１ ｎ＋１
ｘn+2 ｘn+2
＝－１＋π｛［───ｓｉｎπｘ］0 1 －∫0 1 ───（πｃｏｓπｘ）ｄｘ｝
ｎ＋２ ｎ＋２
π
＝－１＋π｛０－０－───∫0 1 （ｘn+2 ｃｏｓπｘ）ｄｘ｝
ｎ＋２
π2 ｎ＋３
＝－１－───・───∫0 1 （ｘn+2 ｃｏｓπｘ）ｄｘ｝
ｎ＋２ ｎ＋３
π2
＝－１－─────・Ｃn+2 ……（答）
(n+2)(n+3)
（２）
π2
Ｃn ＝－１－─────・Ｃn+2
(n+2)(n+3)
π2 π2
＝－１－─────｛－１－──────・Ｃn+4 ｝
(n+2)(n+3) (n+4)(n+5)
π2 π4 π2
＝－１＋─────＋───────────｛－１－─────・Ｃn+6 ｝
(n+2)(n+3) (n+2)(n+3)(n+4)(n+5) (n+6)(n+7)
π2 π4
＝－１＋─────－───────────－……
(n+2)(n+3) (n+2)(n+3)(n+4)(n+5)
ｌｉｍ Ｃn ＝－１ ……（答）
ｎ→∞
π2
（３） －１－──────・Ｃn+3 －（－１）
Ｃn+1 －ｃ (n+3)(n+4)
ｌｉｍ ────────＝ｌｉｍ ────────────────
ｎ→∞ Ｃn －ｃ ｎ→∞ π2
－１－─────・Ｃn+2 －（－１）
(n+2)(n+3)
（ｎ＋２）Ｃn+3
＝ｌｉｍ ─────────
ｎ→∞ （ｎ＋４）Ｃn+2
（１＋２／ｎ）Ｃn+3
＝ｌｉｍ ──────────
ｎ→∞ （１＋４／ｎ）Ｃn+2
（１＋０）・（－１）
＝──────────＝１……（答）
（１＋０）・（－１）
問２（１）
nは自然数とし、An=(1+\(\frac{1}{2}\)+\(\frac{1}{3}\)+、、、+\(\frac{1}{n}\))-logn
とおく。An>\(\frac{1}{n}\)(n≧2)を示せ。
図より、長方形の面積の和は黄色の積分の面積より大きいので、
n-1 １ n １
Σ （──×１）＞∫ ───ｄｘ
k=1 ｋ 1 ｘ
１ １ １ n
１＋─＋─＋……＋──＞［ｌｏｇ｜ｘ｜］
２ ３ n-1 1
１ １ １ １ １
１＋─＋─＋……＋──＋──＞ｌｏｇｎ＋──
２ ３ n-1 ｎ ｎ
１
Ａn＞── ……（答）
ｎ
問２（２）
An>An+1 を示せ。
Ｐ＝Ａn－Ａn+1とおくと、
Ｐ＝｛（1+……+\(\frac{1}{n}\)）－log n｝－｛（1+……+1/(n+1)）－log(n+1)｝
＝－1/(n+1)＋log(n+1)－log n
＝ｌｏｇ｛（ｎ＋１）／ｎ｝－１／（ｎ＋１）
＝ｌｏｇ（１＋１／ｎ）－（\(\frac{1}{n}\)）／（１＋\(\frac{1}{n}\)）
\(\frac{1}{n}\)＝ｘとおいて、関数化して、
ｘ
ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ（１＋ｘ）－───
１＋ｘ
微分して、
１ (1+x)-x
ｆ′（ｘ）＝───－────
１＋ｘ (1+x)2
１＋ｘ－１ ｘ
＝─────＝────
(1+x)2 (1+x)2
ｎ≧１より、０＜１／ｎ≦１
０＜ｘ≦１において、
ｆ（０）＝０、ｆ′（０＜ｘ≦１）＞０より、ｆ（ｘ）＞０
ｘ
ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ（１＋ｘ）－───＞０
１＋ｘ
ｎ＋１ １
ｌｏｇ（───）－───＞０
ｎ ｎ＋１
Ｐ＞０
したがって、Ａn－Ａn+1＞０
∴Ａn＞Ａn+1 ……（答）
問２（３）
y=\(\frac{1}{x}\) (x>0) のグラフが下に凸であることを用いて
\(\frac{1}{2}\)(\(\frac{1}{n}\) + \(\frac{1}{n}\)+1)>log(n+1)-logn を示せ。
台形ＡＢＣＤの面積は積分の面積より大きいから、
台形の面積＝（上底＋下底）×高さ÷２より、
１ １ n+1 １
（─＋───）×１÷２＞∫ ──ｄｘ
ｎ ｎ＋１ n ｘ
したがって、
１ １ １
─（─＋───）＞ｌｏｇ（ｎ＋１）－ｌｏｇｎ ……（答）
２ ｎ ｎ＋１
問２（４）
An>(\(\frac{1}{2}\) + \(\frac{1}{2}\)n) (n≧2)を示せ。
前の式にｎ＝１から順に代入し、総和を求めると、
１ １ １
ｎ＝１ ─（─＋─）＞ｌｏｇ２－ｌｏｇ１
２ １ ２
１ １ １
ｎ＝２ ─（─＋─）＞ｌｏｇ３－ｌｏｇ２
２ ２ ３
１ １ １
ｎ＝３ ─（─＋─）＞ｌｏｇ４－ｌｏｇ３
２ ３ ４
……
１ １ １
ｎ＝ｎ－１ ─（───＋─）＞ｌｏｇｎ－ｌｏｇ（ｎ－１）
２ ｎ－１ ｎ （＋
──────────────────────────────
１ １ １ １ １ １ １
─（１＋─＋─＋……＋───＋─＋─＋……＋─）＞ｌｏｇｎ－ｌｏｇ１
２ ２ ３ ｎ－１ ２ ３ ｎ
１ １ １ １ １
─｛２（１＋─＋─＋……＋─）－１－─｝＞ｌｏｇｎ
２ ２ ３ ｎ ｎ
１ １ １ １ １
（１＋─＋─＋……＋─）－ｌｏｇｎ＞─（１＋─）
２ ３ ｎ ２ ｎ
１ １
∴Ａn＞──＋─── ……（答）
２ ２ｎ
問３（１）
log(n+1)＜1 + \(\frac{1}{2}\) + \(\frac{1}{3}\) 、、、+\(\frac{1}{n}\) (n=1,2,3,,)を示せ。
長方形の１からｎ＋１までの面積の和は積分の面積より大きいから、
n １ n+1 １
Σ ── ＞∫ ───ｄｘ
k=1 ｋ 1 ｘ
したがって、
１ １ １
１＋─＋─＋……＋─ ＞ ｌｏｇ（ｎ＋１）……（答）
２ ３ ｎ
問３（２）
Lim n→∞ {\(\frac{1}{l}\)ogn ・Σ k=1～n (1/K)}=1を示せ。
公式
１ １ １
ｌｏｇ（ｎ＋１）＜１＋─＋─＋……＋─＜ｌｏｇｎ ＋１
２ ３ ｎ
ｌｏｇ（ｎ＋１） １ n １ ｌｏｇｎ ＋１
────────＜──── Σ ── ＜────────
ｌｏｇｎ ｌｏｇｎ k=1 ｋ ｌｏｇｎ
ロピタルの定理より、
１
───
ｌｏｇ（ｎ＋１） ｎ＋１ ｎ
ｌｉｍ────────＝ｌｉｍ───────＝ｌｉｍ ───
ｎ→∞ ｌｏｇｎ ｎ→∞ １ ｎ→∞ ｎ＋１
────
ｎ
１ １
＝ｌｉｍ ─────＝───＝１……①
ｎ→∞ １＋１／ｎ １＋０
１
───
ｌｏｇｎ ＋１ ｎ
ｌｉｍ────────＝ｌｉｍ───────＝ｌｉｍ １＝１……②
ｎ→∞ ｌｏｇｎ ｎ→∞ １ ｎ→∞
────
ｎ
①と②より、挟み込み法により、
１ n １
ｌｉｍ ──── Σ ── ＝１……（答）
ｎ→∞ ｌｏｇｎ k=1 ｋ
問３（３）
Lim n→∞ {\(\frac{1}{l}\)ogn・∫1～n+1(|sinπ\(\frac{x}{x}\)|dx)}
=∫0～1 (sinπy・dy)=2/πを示せ。
これだけは流石に分かりませんでした。
未解決問題のコーナーに移させてもらいましたところ、
マスマニアさんから有り難い解答を頂きました。感謝！！