sqrt(3) は \(x^{2}\) - 3 = 0 の正の根です。

ｘ^2－３＝０の正の近似解をニュートン法で求めます。
ｆ（ｘ）＝ｘ^2－３とすると
ｆ’（ｘ）＝２ｘ
ｘ＝ｘ(1)，ｘ(2)，・・・ｘ(n)・・・について
ｘ(n+1)＝ｘ(n)－ｆ(x(n))／ｆ’(x(n))
＝ｘ(n)－（ｘ^2－３）／（２ｘ）
求めるのは正の解だから
ｘ(1)＝２とします（１でも１．５でもいいでしょう）
また
｜ｘ(n+1)－ｘ(n)｜＜０．０００１となったときに
計算を打ち切ることとします。
このときのｘ(n+1)が近似解です。

ｎ　　　ｘ(n)　 　ｘ(n+1)　 　｜ｘ(n+1)－ｘ(n)｜
1 2 1.75 0.25
2 1.75 1.73214 0.01786
3 1.73214 1.73205　　　 0.00009

以上から\(\sqrt{\quad}\)３の近似解は　1.73205　となりました。