問１
ｘ² －３ｘｙ＋２ｙ² ＋４＝０
ｘについて降べきの順に並べて、
ｘ² －３ｙ・ｘ＋（２ｙ² ＋４）＝０
判別式より、
Ｄ＝（－３ｙ）² －４（２ｙ² ＋４）
　＝９ｙ² －８ｙ² －１６
　＝ｙ² －１６
ｘが整数になるには、判別式（つまり、解の公式の\(\sqrt{\quad}\)の中）が０または
平方数になることが必要だから、ａ² とおくと、
ｙ² －１６＝ａ²
ｙ² ＝ａ² ＋４²
三平方の定理のうち、４関連はａ＝３、ｙ＝５（正の整数）しかない。
ｙ² －１６＝０の場合は、ｙ＝４（正の整数）
①ｙ＝５のとき、
　ｘ² －１５ｘ＋５４＝０
　（ｘ－６）（ｘ－９）＝０
　∴ｘ＝６，９
②ｙ＝４のとき、
　ｘ² －１２ｘ＋３６＝０
　（ｘ－６）² ＝０
　∴ｘ＝６
①と②より、
｛ｘ＝６または、｛ｘ＝９または、｛ｘ＝６　……（答）
｛ｙ＝５　　　　｛ｙ＝５　　　　｛ｙ＝４

問２
４Ｌ＋５Ｍ＝１０００
４Ｌ＝１０００－５Ｍ
　　＝５（２００－Ｍ）
Ｌは５の倍数より、またＬ、Ｍは０以上の整数だから、
（Ｌ，Ｍ）＝（０，２００）（５，１９６）（１０，１９２）
　　　　　　…………（２５０，０）
したがって、
２５０÷５＋１＝５１通り……（答）

問３
Ｎ＋３２　　　　３０
────＝１＋───
Ｎ＋２　　　　Ｎ＋２

左辺が整数となるのは、３０を（Ｎ＋２）で割り切れる必要があるから、
素因数分解３０＝２×３×５より、
Ｎ＋２＝２　　　　　Ｎ＝　０　ダメ
Ｎ＋２＝３　　　　　Ｎ＝　１（正の整数）
Ｎ＋２＝５　　　　　Ｎ＝　３（正の整数）
Ｎ＋２＝２×３　　　Ｎ＝　４（正の整数）
Ｎ＋２＝２×５　　　Ｎ＝　８（正の整数）
Ｎ＋２＝３×５　　　Ｎ＝１３（正の整数）
Ｎ＋２＝２×３×５　Ｎ＝２８（正の整数）
したがって、
６個……（答）

問４
連続する２数の積　ｎ（ｎ＋１）は１×２＝２で割り切れる。
連続する３数の積　ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）は１×２×３＝６で割り切れる。
したがって、
連続する４数の積　ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３）は
１×２×３×４＝２４で割り切れる。
しかし、これを証明するのはどうやるのだろうか？

※今売れている受験参考書シリーズの「細野真宏の『整数とωの問題』が面白
いほどわかる本Version2.0」（中経出版、１１００円）を買って調べたところ、
載っていました。この本結構面白い。本当に偏差値が３０から７０に上がるの
だろうか？
証明のコツは組み合わせの公式を使うところにある。
　　　　ｎ（ｎ－１）（ｎ－２）（ｎ－３）……（ｎ－ｒ＋１）
_n Ｃ_r ＝─────────────────────────
　　　　　　　　　　　　　　ｒ！
ｒ＝４のとき、
　　　　ｎ（ｎ－１）（ｎ－２）（ｎ－３）
_n Ｃ₄ ＝────────────────
　　　　　　　　　　４！
組み合わせの値は、すべて整数になるので、
４つの連続する自然数の積ｎ（ｎ－１）（ｎ－２）（ｎ－３）は４！の倍数と
なる。つまり、４！＝４・３・２・１＝２４の倍数となる。……（答）

問５
ｘ³ －ｘ² ＋（ａ－６）ｘ－３ａ＝０
組立除法より
１　－１　（ａ－６）　－３ａ　｜＿３
　　　３　　　　６　　　３ａ
──────────────────
１　　２　　ａ　　　｜　　０

実数解はｘ＝３
ｘ² ＋２ｘ＋ａ＝０
判別式より、虚数解をもつには
Ｄ＝４－４ａ＜０
ａ＞１……（答）
２虚数解α、βの和α＋β＝－２……（答）

問６（１）
（　\(\sqrt{\quad}\)３－２ｉ　）² 　３－４\(\sqrt{\quad}\)３ｉ－４　－１－４\(\sqrt{\quad}\)３ｉ
（　─────　）　＝────────＝───────
（　２＋\(\sqrt{\quad}\)３ｉ　）　　４＋４\(\sqrt{\quad}\)３ｉ－３　１＋４\(\sqrt{\quad}\)３ｉ
有理化して、
　（－１－４\(\sqrt{\quad}\)３ｉ）（１－４\(\sqrt{\quad}\)３ｉ）　－４８－１　－４９
＝─────────────────＝─────＝───＝－１……（答）
　　　　　　　１＋４８　　　　　　　　　４９　　　　４９

問６（２）
｜\(\sqrt{\quad}\)３－ｉ｜
｜────｜は複素数の大きさ（原点からの距離）だから、
｜　　２　｜

｜\(\sqrt{\quad}\)３－ｉ｜　　　　\(\sqrt{\quad}\)３　　　　　１
｜────｜＝\(\sqrt{\quad}\)｛（──）² ＋（－─）² ｝
｜　　２　｜　　　　　２　　　　　２

＝１……（答）