具体例は厳密ではなく、厳密に求めるといまいち･･･と思うことが多いので、
質問への解答になっていないかもしれませんがご勘弁。

まず、微分の公式は定義により
lim[h→0]{f(x+h)-f(x)}/h ですね、要するにxからx+hまで変化したときの
平均変化率の極限です。
これが曲線において接線の傾きを表すことは教科書などで理解されていること
と思います。
ただ、これを毎回毎回計算していたところ規則性を見つけたわけです。
f(x)=\(x^{n}\)ならばf'(x)=nx^(n-1)になっている！！

そこで、もう少し正確に求めると、二項定理を用いて
f'(x)=lim[h→0]{(x+h\()^{n}\)-\(x^{n}\)}/h 以下lim省略
={nC0*\(x^{n}\)+nC1*x^(n-1)*h+nC2*x^(n-2)\(h^{2}\)+･･･nCn*\(h^{n}\)-\(x^{n}\)}/h
={nC1*x^(n-1)*h+nC2*x^(n-2)\(h^{2}\)+･･･nCn*\(h^{n}\)}/h
={nC1*x^(n-1)+nC2*x^(n-2)h+･･･nCn*h^(n-1)
ここで、lim[h→0]より
=nx^(n-1)となる。

また、具体例で考えるならば\(x^{2}\),\(x^{3}\)が正方形の面積や立方体の体積と考えて、
1辺x+hの正方形や立方体を頂点の1つ重ねるように描き、その増分のhに対する
変化量と考えたらイメージしやすいかも。
また、円だと
半径xの円の面積と変形x+hの円の面積の差がすごく小さければ円周部分（微妙）
に見えそうですね。
よってS=π\(x^{2}\)を微分するとS'=2πrとなる。
このような例ではいかがでしょうか？
球の体積を微分しても面白いかも。また物理を選択していたらx=.5a\(t^{2}\)+v0tを
微分するとv(速度)が出て、さらに微分すると加速度が出ることも面白いと思います。