「確率についての質問」

質問＜２９＞

「「確率についての質問」」

日付９８／７／１７

質問者 akira onaga

翁長（おなが）@那覇です．ご無沙汰しております．
確率の質問ですが，これは高校生の娘に教えるためではなく私自身必要なのにわから
ないのです．よろしくお願いします．
Fisherの直接確率を計算する途中で出てくるのですが，
事象A,Bがあって，AでないをA*,BでないをB*で表します．
n回の試行を行って，AかつB=a回,AかつB*=b回,A*かつB=c回,A*かつB*=d回出る（田の
字型になっているるわけです．当然a+b+c+d=n)確率は
{(a+b)!・(c+d)!・(a+c)!・(b+d)!}/{a!・b!・c!・d!・n!}
であると書いてあります．
この確率の前提は何で，またこの式はどうやって導かれるのでしょう．
A対A*,B対B*それぞれ確率0.5とすると，上記の確率は
n!/{(2の2n乗)・a!・b!・c!・d!}になるように思うのですが．

お返事（武田）

日付９８／７／１９

回答者武田

日頃扱ってない内容なので、参考書を読んでみましたが、半分理解できて、残り半分は
分からないままです。なお、読んだ本は下記の２冊です。

　　佐藤　信著「推計学のすすめ…決定と計画の科学」講談社BLUE BACKSシリーズ
　　守谷栄一著「詳解演習　数理統計」オーム社書店　日本理工出版会

事象ＡとＢが独立しているかどうか検定するためχ²検定を行います。
帰無仮説として、Ａ，Ｂが独立している（影響しあってない）と仮定を立てます。
Ａ，Ｂの属性がＡがＬ個、ＢがＭ個考えられるときは、Ｌ×Ｍ分割表が作られ、そ
の個々の度数ｎ_ijを調べて、次の統計量χ₀²を計算して判定します。
その計算式は、次のようです。
χ₀²＝Σ［（ｎ_ij－ｎ_i.ｎ_.j／ｎ）²／（ｎ_i.ｎ_.j／ｎ）］
　　＝ｎ［Σ（ｎ_ij）²／（ｎ_i.ｎ_.j）－１］

このＬとＭは共に２個の場合が多いので、２元分割表がよく使われます。例えば、

Ａ＼Ｂ	Ｂ	Ｂ＊	計
Ａ	ａ	ｂ	ａ＋ｂ
Ａ＊	ｃ	ｄ	ｃ＋ｄ
計	ａ＋ｃ	ｂ＋ｄ	ｎ

とすると、統計量χ₀²は変形して、
χ₀²＝　ｎ（ａｄ－ｂｃ）²　　
　　　(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
となります。
この式を使って、多くの問題を解くわけですが、具体例を一つやってみましょう。

　（例）男性用化粧品を使用している１５０名の内、既婚者は６０名で独身者は
　　　　９０名であった。使用していない１００名の中で既婚者は６０名で独身
　　　　者は４０名であった。独身者が特に男性用化粧品を使用していると言え
　　　　るか。

Ａ＼Ｂ	使用	使用しない	計
既婚者	６０	６０	１２０
独身者	９０	４０	１３０
計	１５０	１００	２５０

　　　　χ₀²＝　250（60*40－60*90）²
　　　　　　　　　120*130*150*100
　　　　　　＝９．６１５
　　　　自由度はφ＝（Ｌ－１）×（Ｍ－１）＝（２－１）×（２－１）＝１
　　　　有意水準α＝０．０５（５％）
　　　　として、χ²分布表より、境界値を読みとると、
　　　　　　　　χ²(1,0.05)＝３．８４
　　　　したがって、
　　　　　　　　χ₀²＞χ²(1,0.05)
　　　　境界値をオーバーしているので、帰無仮説（ＡとＢは独立している）
　　　　は棄却されることになる。つまり、ＡとＢは影響している。言葉を換
　　　　えると、独身者は化粧品を使用していることが多い。

さて、質問の件に入りますが、（やっと出てきて申し訳ない…）
度数ｎ_ijの一つが、５より小さいときに限り、Ｒ．Ａ．フィッシャーの
考えた直接計算法が使われるようです。
次の分割表の時の計算式は、質問の式になります。

Ａ＼Ｂ	Ｂ	Ｂ＊	計
Ａ	ａ	ｂ	ａ＋ｂ
Ａ＊	ｃ	ｄ	ｃ＋ｄ
計	ａ＋ｃ	ｂ＋ｄ	ｎ

確率ｐ＝(a+b)!(c+d)!(a+c)!(b+d)!
　　　　　　ｎ！ａ！ｂ！ｃ！ｄ！

ただ、この確率の式がどこから導かれたかは、上記の参考書には書いてありません
でした。もっと詳しいR.A.Fisherの専門書を見れば書いてあるでしょう。
さらに、確率が０．５のときの式については全く分かりません。
せめて、その変形をお知らせ下さい。

お便り

日付９８／７／２３

回答者 kyukusu

Ｐ(A)=ｐ , Ｐ(B)=ｑとするとき表のような周辺度数が現れる（Ｘ）確率は
Ｐ(X)=nCa+bｐ^a+b(1-ｐ)^c+d*nCa+cｑ^a+c(1-ｑ)^b+d
={(n!)²/(a+b)!(c+d)!(a+c)!(b+d)!} *ｐ^a+b(1-ｐ)^c+dｑ^a+c(1-ｑ)^b+d

一方a,b,c,dの度数が現れる確率（Ｙ）は
Ｐ(Y)=nCa+bｐ^a+b(1-ｐ）^c+d*a+bCaｑ^a(1-ｑ)^b*c+dCcｑ^c(1-ｑ)^b+d
={n!/a!b!c!d!}*ｐ^a+b(1-ｐ)^c+dｑ^a+c(1-ｑ)^b+d

よって周辺度数が表の条件の下でa,b,c,dの表値が得られる確率は（条件付き確率で）
Ｐx(Y)=Ｐ(Y)/Ｐ(X)={(a+b)!(c+d)!(a+c)!(b+d)!}/n!}*\(\frac{1}{a}\)!b!c!d!
………
というのがサイエンス社の統計入門（和田秀三著）に載っていました．宜しく