①
lim(x→0)\(x^{n}\)*logx=lim(x→0)(logx)/(1/\(x^{n}\))
=lim(x→0)(logx)/x^(-n)=lim(x→0)(\(\frac{1}{x}\))/{-nx^(-n-1)}
=lim(x→0)1/{-nx^(-n)}=-lim(x→0)\(x^{n}\)/n=0

②
lim(x→0)(1+3x)^(\(\frac{1}{x}\))=lim(x→0){(1+3x)^(\(\frac{1}{3}\)x)}^3=\(e^{3}\)

③
lim(x→0)(logcosx)/\(x^{2}\)=-lim(x→0)tanx/(2x)
=-lim(x→0)1/(2co\(s^{2}\)x)=-\(\frac{1}{2}\)

（注：①と③は、ロピタルの定理
　　　　　　　　ｆ（ｘ）　　　　　ｆ′（ｘ）
　　　　lim　――――――＝lim　――――――
　　　　ｘ→α　ｇ（ｘ）　ｘ→α　ｇ′（ｘ）
　　　を利用して解いてくれています。　　管理人談）

この前に回答して下さったのですが、なぜeがでてくるのかわかりません。
②lim(x→0)(1+3x)^(\(\frac{1}{x}\))=lim(x→0){(1+3x)^(\(\frac{1}{3}\)x)}^3=\(e^{3}\)
教えて下さい。

ｅとは自然対数の底のことです。
まずｅはどんな値でしたか？
ｌｉｍ（ｔ→０）（１＋ｔ）^(\(\frac{1}{t}\))＝ｅ
を思い出してください
うまくこの形にもちこむことを考えたわけです。
たとえば
簡単な例で
ｌｉｍ（ｔ→０）（１＋ｔ）^(\(\frac{２}{t}\))
＝ｌｉｍ（ｔ→０）｛（１＋ｔ）^(\(\frac{1}{t}\))｝^2＝ｅ^2
などがあります。
このパターンは、参考書には必ず載っていると思います。