数直線上で定義された関数Ｆ（Ｘ）が次の２条件を満たしているとする。
（Ａ）任意の実数Ｘ１，Ｘ２に対し
Ｆ（Ｘ１＋Ｘ２）＝Ｆ（Ｘ１）＋Ｆ（Ｘ２）＋２Ｘ１Ｘ２－ｂ
が成立する。
（Ｂ）Ｆ（Ｘ）はＸ＝０において微分可能でＦ’（０）＝ａである。
ただし、ａ，ｂは定数とする。
（１）任意の実数Ｘにおいて
極限値 ｌｉｍ ｈ→０［｛Ｆ（Ｘ＋ｈ）－Ｆ（Ｘ）｝／ｈ］が存在する
ことを示せ。また、その値をＸを用いて表せ。
（２）Ｆ（Ｘ）が極値をとるときのＸの値を求めよ。
［００ 三重大・教（後期）］
答えは（１）２Ｘ＋ａ （２）Ｘ＝－ａ／２ になるらしいのですが、
詳しい解き方と考え方を教えて下さい。お願いします。
（１）
下記の結果にｈ→\(\pm\)０しても、同じ導関数になるので、極限値が
存在することが明らかである。
Ｆ（Ｘ1 ＋Ｘ2 ）＝Ｆ（Ｘ1 ）＋Ｆ（Ｘ2 ）＋２Ｘ1 Ｘ2 －ｂより、
Ｆ（Ｘ＋０）＝Ｆ（Ｘ）＋Ｆ（０）＋２Ｘ・０－ｂ
∴Ｆ（０）＝ｂ……①
Ｆ（０＋ｈ）－Ｆ（０） Ｆ（ｈ）－ｂ
Ｆ′（０）＝ｌｉｍ───────────＝ｌｉｍ──────
ｈ→０ ｈ ｈ→０ ｈ
＝ａ……②
Ｆ（Ｘ＋ｈ）－Ｆ（Ｘ）
Ｆ′（Ｘ）＝ｌｉｍ───────────
ｈ→０ ｈ
Ｆ（Ｘ）＋Ｆ（ｈ）＋２Ｘｈ－ｂ－Ｆ（Ｘ）
＝ｌｉｍ────────────────────
ｈ→０ ｈ
Ｆ（ｈ）－ｂ
＝ｌｉｍ（──────＋２Ｘ）
ｈ→０ ｈ
＝ａ＋２Ｘ……（答）
（２）
極値を持つのは、Ｆ′（Ｘ）＝０より、
ａ＋２Ｘ＝０
ａ
∴Ｘ＝－─ ……（答）
２