こんにちは。　②　を先にしますが…

まず、或る　ａ≠０　なる　ａ　について、　
ｘ→ａ　のときの　ｆ（ｘ）　の極限の状況を見ると、　
０＜ｈ　のとき
ｌｉｍ_{ｘ→ａ}ｆ（ｘ）＝ｌｉｍ_{ｈ→０}ｆ（ａ\(\pm\)ｈ）
＝ｌｉｍ_{ｈ→０}（ａ\(\pm\)ｈ）ｓｉｎ｛１／（ａ\(\pm\)ｈ）｝
＝ａｓｉｎ（１／ａ）
＝ｆ（ａ）
したがって、左右の極限値が存在してかつ一致する。
しかして、いま　ａ　は　ａ≠０　で任意であるから　
ｆ（ｘ）　は　ｘ≠０　で連続である。

次に、微分を試みると　ｘ≠０　のとき
f’(x)=lim_{h→\(\pm\)0}(\(\frac{1}{h}\))[f(x+h)-f(x)]
=lim_{h→\(\pm\)0}(\(\frac{1}{h}\))[(x+h)sin{1/(x+h)}-xsin(\(\frac{1}{x}\))]
=lim_{h→\(\pm\)0}〔[sin{1/(x+h)}]+(\(\frac{x}{h}\))[sin{1/(x+h)}-sin(\(\frac{1}{x}\))]〕
=lim_{h→\(\pm\)0}〔[sin{1/(x+h)}]+(2\(\frac{x}{h}\))cos{(2x+h)/(2x(x+h))}sin{-h/(2x(x+h)}〕
=lim_{h→\(\pm\)0}〔[sin{1/(x+h)}]+{-1/(x+h)}cos{(2x+h)/(2x(x+h))}[{sin(H)}/H]　
( H=h/{2x(x+h)}、h→0　で　H→0 )
=sin(\(\frac{1}{x}\))-(\(\frac{1}{x}\))cos(\(\frac{1}{x}\))

したがって、　ｘ≠０　なる任意の　ｘ　で左側微（分）係数と右側微（分）係数の
両方とも存在して一致する。
したがって、このとき　ｆ（ｘ）　は微分可能である。これで　①　も示された。

※１． ｘ＝０　においては、連続であるが微分可能ではないようです。