＞∫exp(\(x^{b}\)+x)dxの不定積分はどうなるのでしょうか？

フリー数式処理ソフトMAXIMA(Windows版)を利用してみましょう。

ダウンロード/インストール終了後、デスクトップにMAXIMAのアイコンが出来て
いる筈です。それをダブルクリックすると、

Maxima 5.9.3 http://maxima.sourceforge.net
Using Lisp GNU Common Lisp (GCL) GCL 2.6.7 (aka GCL)
Distributed under the GNU Public License. See the file COPYING.
Dedicated to the memory of William Schelter.
This is a development version of Maxima. The function bu\(g_{r}\)eport()
provides bug reporting information.
(%i1)

と言う画面が立ち上がります。
入力待ちプロンプト(%i1)の後に積分コマンド

(%i1) integrate(exp(\(x^{b}\)+x),x);

と入力して、リターンキーを押してみましょう。解が表示される筈です。
もし、解が表示されなかった場合は、それは｢解析的に不定積分は不可能｣と言った意味に
なります。
お試し下さい。

参考文献:

MAXIMA日本語マニュアル

MAXIMAの手引き

Maxima入門ノート