数学に関してはシロウトです。
パターンを数え上げただけですので，間違いがあったら指摘してください。
また，スマートな解法があったら教えてください。

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硬貨Ａの面がｘ座標の増減を表す。
Ａが表（以下，○）だとｘ＋１，　Ａが裏（以下，●）ならｘ－１。
硬貨Ｂの面がｙ座標の増減を表し，
Ｂ○だとｙ＋１，　Ｂ●ならｙ－１。
１回の試行によって，点Ｐは斜め４方向（右上，右下，左上，左下）の
いずれかに１歩だけ進む。どの方向が選ばれるかはそれぞれ\(\frac{1}{4}\)の確率。

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（１）２回の試行でPが原点に戻る確率は？
１回目の試行……４方向のどこに進んでもよい。確率は \(\frac{1}{4}\)×４＝１
２回目の試行……進む方向は １回目とは逆方向のみ。確率は \(\frac{1}{4}\)
よって，１×\(\frac{1}{4}\) ＝ \(\frac{1}{4}\)

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（２）２回の試行後にPがTの周上にある確率は？
条件を簡単にするためにとりあえず，－２≦ｘ≦４ ではなく，
－２≦ｘ≦２ に変更して，領域Ｔを正方形の領域だと変更してみる。

ＰがＴの周上にある，とは，
x=2 または x=-2 または y=2 または y=-2 の境界線にＰが移動してくること。
このような移動になるのは，１回目の試行と２回目の試行において，
ＡまたはＢが，○○または●●のように，２回連続で同じ面を出したとき。

２回連続で同じ面を出さないパターンは（１）の原点に戻る場合のみ。
変更した簡単な条件の下での確率は，
１回目の試行……４方向のどこに進んでもよい。確率は \(\frac{1}{4}\)×４＝１
２回目の試行……進む方向は（１）以外の３方向どれでも可。確率は \(\frac{3}{4}\)
よって，１×\(\frac{3}{4}\) ＝ \(\frac{3}{4}\)

しかし本来，x=2 は境界線ではないので，このパターンは除外する。
　　１回目（Ａ○Ｂ○），２回目（Ａ○Ｂ○）……y=２ の境界線上
　／　
／＼１回目（Ａ○Ｂ○），２回目（Ａ○Ｂ●）……境界線上でない(\(\frac{1}{4}\)×\(\frac{1}{4}\))
＼／１回目（Ａ○Ｂ●），２回目（Ａ○Ｂ○）……境界線上でない(\(\frac{1}{4}\)×\(\frac{1}{4}\))
　＼
　　１回目（Ａ○Ｂ●），２回目（Ａ○Ｂ●）……y=-2 の境界線上

よって，\(\frac{3}{4}\)－(\(\frac{1}{4}\)×\(\frac{1}{4}\)×２) ＝ \(\frac{5}{8}\)

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（３）３回の試行後にPがTの点である確率は？
ＡまたはＢが，○○○または●●●のように３回，同じ面を出すと
領域外に出てしまう。ただし，Ａ＝○○○（ｘ＝＋３）は領域内。

Ｐが領域外に出る確率
＝　(ｙ＝＋３)　＋　(ｙ＝－３)　＋　(ｘ＝－３)　－　(x=-3,y=+3) －　(x=-3,y=-3)

＝　Ａ？？？　　＋　Ａ？？？　　＋　Ａ●●●　　－　Ａ●●●　　－　Ａ●●●
　　Ｂ○○○　　　　Ｂ●●●　　　　Ｂ？？？　　　　Ｂ○○○　　　　Ｂ●●●

＝　１／８　　　＋　１／８　　　＋　１／８　　　－　\(\frac{1}{64}\)　　　　－　\(\frac{1}{64}\)

＝　\(\frac{24}{64}\) － \(\frac{2}{64}\) ＝ \(\frac{11}{32}\)。
よって，Ｔの領域内の点である確率は １－\(\frac{11}{32}\)＝ \(\frac{21}{32}\)

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（４）４回の試行でPがはじめて原点に戻る確率は？
４回の試行でＰがはじめて原点に戻るのは次の３パターン。

(a) １回目の試行……４方向のどこに進んでもよい １
２回目の試行……１回目と同じ向きに進む \(\frac{1}{4}\)
３回目の試行……来た道を逆に戻る \(\frac{1}{4}\)
４回目の試行……来た道を逆に戻る \(\frac{1}{4}\)

(b) １回目の試行……４方向のどこに進んでもよい １
２回目の試行……90度 方向転換（右・左どちらも可） \(\frac{2}{4}\)
３回目の試行……来た道を逆に戻る \(\frac{1}{4}\)
４回目の試行……来た道を逆に戻る \(\frac{1}{4}\)

(c) １回目の試行……４方向のどこに進んでもよい １
２回目の試行……90度 方向転換（右・左どちらも可） \(\frac{2}{4}\)
３回目の試行……１回目とは逆方向 \(\frac{1}{4}\)
４回目の試行……２回目とは逆方向 \(\frac{1}{4}\)

よって，(a)＋(b)＋(c) ＝ \(\frac{5}{64}\)

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（５）４回の試行後にPがTの外部にある確率は？
Ｐの座標はＴの内部にとどまっている限り，
奇数回目の試行後にはｘ座標ｙ座標とも奇数になり，
偶数回目の試行後にはｘ座標ｙ座標とも偶数になる。

「（３）３回の試行後にPがTの点である」場合のＰの座標は
－１≦ｘ≦３，－１≦ｙ≦１。
そこから４回目の試行をおこなっても，
新たにＰがＴの外部に出てくるパターンは見つからない。

ＰはいったんＴの外部に出てしまえば内部に戻らないので，
すでに（３）で求めた「３回の試行後にPがTの外部にある確率」を答えればよい。
よって，\(\frac{11}{32}\)

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（６）４回の試行後にPがｘ座標上にある確率は？
ｙ＝０ …… Ｂの表裏が同数，つまり，Ｂは ○○●●の組合せ(\(\frac{6}{16}\))
かつ
３回目の試行で ｘ＝－３ にならない（Ｔの外に出るのでＰは動けなくなる）
…… Ａは ●●●？(\(\frac{1}{8}\)) ではない

よって，Ａ？？？？　－　Ａ●●●？　＝ \(\frac{6}{16}\) － \(\frac{1}{8}\)×\(\frac{6}{16}\) ＝ \(\frac{21}{64}\)
　　　　Ｂ○○●●　　　Ｂ○○●●

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