①　ｙ方向に積分した後にｘ方向に積分すると
　　　∬y≧0 1/(1+\(x^{2}\)+y\()^{2}\) dxdy
=∫[-∞～∞]{∫[0～∞]１/（1+\(x^{2}\)+y\()^{2}\) dy}dx
=∫[-∞～∞]{１/（1+\(x^{2}\))} dx

X＝tanθと置いて変数変換すると
（与式）=∫[-π/2～π/2]dθ
=π

②∬\(R^{2}\) dxdy/(1+\(x^{2}\)+\(y^{2}\)+1\()^{3}\)/2
これは書き間違えなのでは？
　∬\(R^{2}\) dxdy/(1+\(x^{2}\)+\(y^{2}\)\()^{3}\)/2
でよければ
　x=rcosθ、y=rsinθと変数変換しθで積分した後rで積分すると
(与式)=∫[0～∞]｛∫[0～2π]1/(1+\(r^{2}\)\()^{3}\)/2dθ｝dr
　　　=2π∫[0～∞]｛1/(1+\(r^{2}\)\()^{3}\)/2dθ｝dr
r=tanθと変数変換すると
(与式)=2π∫[0～π/2]sinθ dθ
=2π