まず、u=z(x,y)でなく、z=z(x,y)
∂^2/∂u∂v=∂^2/∂\(x^{2}\)-∂^2z/∂\(y^{2}\)でなく、
∂^2z/∂u∂v=∂^2z/∂\(x^{2}\)-∂^2z/∂\(y^{2}\)ですね。
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まず
u=z(x,y),x=u+v,y=u-v についてですが
異なる意味のuが使われています。
これは
２変数関数z(x,y)がx=u+v,y=u-vで定められているとき・・・
という問題ということで概略を回答します。
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∂z/∂u=(∂z/∂x)(∂x/∂u)+=(∂z/∂y)(∂x/∂u)
を利用して
∂z/∂u=(∂z/∂x)+(∂z/∂y)
さらに
∂z/∂v=(∂z/∂x)(∂x/∂v)+=(∂z/∂y)(∂y/∂v)
を利用して
zを∂z/∂uに置き換えると
求める等式が得られます。