問０
これは力づくで計算しても解けますが、
つまり、
Ａ¹⁰＝（Ａ² ）⁵
として計算していくやり方です。
　\(\sqrt{\quad}\)３－ｉ　　　　１－\(\sqrt{\quad}\)３ｉ　　　１＋\(\sqrt{\quad}\)３ｉ
（────）¹⁰＝（─────）⁵ ＝─────　……（答）
　　２　　　　　　　　２　　　　　　　２

しかしこれは普通、極形式で解きます。
\(\sqrt{\quad}\)３－ｉ　\(\sqrt{\quad}\)３　１
────＝──－─ｉ＝ｃｏｓ（－３０°）＋ｉｓｉｎ（－３０°）
　　２　　　２　２
１０乗より、
ｃｏｓ１０・（－３０°）＋ｉｓｉｎ１０・（－３０°）
＝ｃｏｓ（－３００°）＋ｉｓｉｎ（－３００°）
＝ｃｏｓ６０°＋ｉｓｉｎ６０°

　１　\(\sqrt{\quad}\)３　　１＋\(\sqrt{\quad}\)３ｉ
＝─＋──ｉ＝─────　……（答）
　２　　２　　　　２

問１
Ｘが整数→Ｄ＝０または平方数
これは必要条件と言っているのだから、
Ｄ＝０または平方数→Ｘが整数
と言う十分条件とは違うので、
かまわないと思う。
なお、十分条件はご指摘の通り分数もあるので、成り立たない。
そこで、
ｙ＝５とｙ＝４のときのＸが整数になるか調べているのである。
この問題ではＸは整数になったが、分数が出たときは捨てることになる。

なお、後日別解がわかったので、付記する。
［別解］
ｘ² －３ｘｙ＋２ｙ² ＋４＝０
変形して、
（ｘ－２ｙ）（ｘ－ｙ）＝－４
２数の積が－４となるのは
（－１，４）（－２．２）（－４，１）
（１，－４）（２，－２）（４，－１）
の６通りある。
この６個について連立方程式を解くと、
例えば
｛ｘ－２ｙ＝－１
｛ｘ－ｙ＝４
∴（ｘ，ｙ）＝（９，５）
６つのうち、上の３つから答えが（９，５）（６，５）（６，４）とでる。
下の３つは負の整数がでるので、捨て去ることになる。

（感想）こちらの方が簡単だった。

問２
確かに、複素数の大きさ（長さ）というのは変である。正確には複素数の絶対値
と言うべきであった。
しかし、複素数を簡便にやるために自由ベクトルと一体化して考えることが多い。
そのとき、複素数の絶対値は、原点Ｏから複素数の点Ｚまで引いたベクトルの大き
さ（原点からの距離）として計算したりするので、うっかり複素数の大きさと言っ
てしまったのだ。
したがって、
　　\(\sqrt{\quad}\)３－ｉ　\(\sqrt{\quad}\)３　１　　　　　　　　　　　　\(\sqrt{\quad}\)３　－１
ｚ＝────＝──－─ｉ　は、ベクトルの成分（──，──）と一体化して、
　　　　２　　　２　２　　　　　　　　　　　　　２　　２
複素数ｚの絶対値は、原点から点ｚまでの距離と考えて
　　　　　　　\(\sqrt{\quad}\)３　　　　－１
｜ｚ｜＝\(\sqrt{\quad}\)｛（──）² ＋（──）² ｝
　　　　　　　　２　　　　　２

ベクトルと一体化して考える習慣を付けた方がよいと思う。
例えば、｜α－β｜は何を表すかというと、
言葉上は複素数αからβを引いた絶対値と言うのだが、これでは意味がわからない。
ベクトルαからベクトルβを引いた、つまり２点α、β間の距離と見た方がわかり
やすいわけである。