①
f'(x)=3\(x^{2}\)+2ax+b
x=αで極大、x=βで極小だから
f'(x)=3\(x^{2}\)+2ax+b=0は異なる2つの解α，βをもつ
f'(x)=3\(x^{2}\)+2ax+b=0の解の判別式をDとすると
D/4=\(a^{2}\)-3b>0
また、解と係数の関係から
α+β=(-2a)/3，αβ=\(\frac{b}{3}\)
(β-α\()^{2}\)=(β+α\()^{2}\)-4αβ=(\(\frac{4}{9}\))(\(a^{2}\)-3b)
\(a^{2}\)-3b>0より
β-α=(\(\frac{2}{3}\))\(\sqrt{\quad}\)(\(a^{2}\)-3b)・・・（答）

②
f(β)-f(α)=(β^3-α^3)+a(β^2-α^2)+b(β-α)
β+α，β-α，βαが既知なので、これらを利用して計算して
（途中計算省略）
f(β)-f(α)=(-\(\frac{4}{27}\))\(\sqrt{\quad}\)(\(a^{2}\)-3b\()^{3}\)・・・（答）

③
y=f(x)が点(-2,3)を通るからf(-2)=3より
-8+4a-2b+c=3　∴4a-2b+c=11・・・①
点(-2,3)における接線の傾きが9だからf'(-2)=9より
12-4a+b=9　∴4a-b=3・・・②
f(β)-f(α)=-4より(-\(\frac{4}{27}\))\(\sqrt{\quad}\)(\(a^{2}\)-3b\()^{3}\)=-4
∴\(a^{2}\)-3b=9・・・③
②からbを消去して③に代入すると
\(a^{2}\)-3(4a-3)=9 \(a^{2}\)-12a=0　a=0,12
②①より
(a,b,c)=(0,-3,5),(12,45,53)・・・（答）