w=f(x,y) とすると、
　dw = ∂f/∂x・dx + ∂f/∂y・dy　　…全微分

また、z=g(w) に対して、
　dz = g'(w)dw　　…常微分

よって、
　dz = g'(w)・∂f/∂x・dx + g'(w)・∂f/∂y・dy

これより、
　∂z/∂x = g'(w)・∂f/∂x
　∂z/∂y = g'(w)・∂f/∂y

同様に、
　∂g'(w)/∂x = g''(w)・∂f/∂x
　∂g'(w)/∂y = g''(w)・∂f/∂y

以上により
　∂^2z/∂\(x^{2}\)
　= ∂(∂z/∂x)/∂x
　= ∂(g'(w)・∂f/∂x)/∂x
　= ∂g'(w)/∂x・∂f/∂x + g'(w)・∂(∂f/∂x)/∂x　　←積の微分
　= g''(w)・(∂f/∂x\()^{2}\) + g'(w)・∂^2f/∂\(x^{2}\)
　= g''(f(x,y))・(∂f(x,y)/∂x\()^{2}\) + g'(f(x,y))・∂^2f(x,y)/∂\(x^{2}\)

同様に、
　∂^2z/∂\(y^{2}\)
　= g''(f(x,y))・(∂f(x,y)/∂y\()^{2}\) + g'(f(x,y))・∂^2f(x,y)/∂\(y^{2}\)

また、
　∂^2z/∂x∂y
　= ∂(∂z/∂x)/∂y
　= ∂(g'(w)・∂f/∂x)/∂y
　= ∂g'(w)/∂y・∂f/∂x + g'(w)・∂(∂f/∂x)/∂y
　= g''(w)・∂f/∂x・∂f/∂y + g'(w)・∂^2f/∂x∂y
　= g''(f(x,y))・∂f(x,y)/∂x・∂f(x,y)/∂y + g'(f(x,y))・∂^2f(x,y)/∂x∂y