２組の数列｛an｝,{bn}(n=0,1,2,・・・)を
\(a_{0}\)=1, \(a_{n}\)+1 = -an-\(\sqrt{\quad}\)3bn
\(b_{0}\)=1, \(b_{n}\)+1 = \(\sqrt{\quad}\)3an-bn
と定める。cn=an+bni(iは虚数単位)とするとき、
①\(c_{n}\)+1をcnで表せ。
②｜cn｜を求めよ。
③ｍを負でない整数とするとき、a0+a1+a2+・・・\(a_{3}\)n+2を求めよ。
という問題がさっぱり分かりません。ご指導下さい。
★希望★完全解答★
まず、
c[n]=a[n]+b[n]i
より、
a[n]=(c[n]+c[n]~)/2, b[n]=(c[n]~-c[n])\(\frac{i}{2}\)
※c[n]の複素共役を c[n]~ で表している
(1)
c[n+1]
=a[n+1]+b[n+1]i
=-a[n]-\(\sqrt{\quad}\)3b[n]+(\(\sqrt{\quad}\)3a[n]-b[n])i
=a[n](-1+\(\sqrt{\quad}\)3i) - b[n](\(\sqrt{\quad}\)3+i)
=(c[n]+c[n]~)(-1+\(\sqrt{\quad}\)3i)/2 - (c[n]~-c[n])i(\(\sqrt{\quad}\)3+i)/2
=c[n](-1+\(\sqrt{\quad}\)3i)
(2)
c[0]=1+i より c[0]=\(\sqrt{\quad}\)2
c[n+1]=c[n](-1+\(\sqrt{\quad}\)3i) より |c[n+1]|=|c[n]||-1+\(\sqrt{\quad}\)3i|=2|c[n]|
よって、帰納的に |c[n]|=\(\sqrt{\quad}\)2・\(2^{n}\)
実際、
・c[0]=\(\sqrt{\quad}\)2
・|c[k]|=\(\sqrt{\quad}\)2・\(2^{k}\) ならば |c[k+1]|=2|c[k]|=\(\sqrt{\quad}\)2・2^(k+1)
※数学的帰納法の 「n=0の時成立」「n=kの時成立⇒n=k+1の時も成立」を満たす
(3)
c[n+3]=c[n](-1+\(\sqrt{\quad}\)3i\()^{3}\)=8c[n](cos120°+isin120°\()^{3}\)=8c[n]
c[0]=1+i
c[1]=(1+i)(-1+\(\sqrt{\quad}\)3i)=-(1+\(\sqrt{\quad}\)3)+(\(\sqrt{\quad}\)3-1)i
c[2]=(1+i)(-1+\(\sqrt{\quad}\)3i\()^{2}\)=(1+i)(-2-2\(\sqrt{\quad}\)3i)=(2\(\sqrt{\quad}\)3-2)-(2\(\sqrt{\quad}\)3+2)i
a[n]は、c[n]の実部のため、
a[0]=1, a[1]=-1-\(\sqrt{\quad}\)3, a[2]=2\(\sqrt{\quad}\)3-2, a[n+3]=8a[n]
よって、
a[0]+a[1]+…+a[3n+2]
= (a[0]+a[1]+a[2])(1+8+\(8^{2}\)+…+\(8^{n}\))
=(\(\sqrt{\quad}\)3-2)(8^(n+1)-1)/7