a(n)=cos2nπ/3＋∑[k=1,n]\(\frac{1}{2}\)^(k-1)
　　=cos2nπ/3+(1-(\(\frac{1}{2}\)\()^{n}\))/(1-\(\frac{1}{2}\))
(等比数列の和の公式より)

=cos2nπ/3+2-(\(\frac{1}{2}\))^(n-1)
であるから

lim[n→∞]\(\frac{1}{n}\)∑[k=1,n]a(k)
=lim[n→∞]\(\frac{1}{n}\)∑[k=1,n](cos2kπ/3+2-(\(\frac{1}{2}\))^(k-1))
=lim[n→∞]\(\frac{1}{n}\)(∑[k=1,n](cos2kπ/3))
+\(\frac{1}{n}\)(2n-(2-(\(\frac{1}{2}\))^(n-1)))
=lim[n→∞]\(\frac{1}{n}\)(∑[k=1,n](cos2kπ/3))
+2-(\(\frac{2}{n}\))+\(\frac{1}{n}\)(\(\frac{1}{2}\))^(n-1).....(A)
である。

ここで、∑[k=1,n]cos2kπ/3.....(B)
=(cos2π/3+cos4π/3+cos2π)+(cos8π/3+cos10π/3+cos4π)
+.......+cos2nπ/3
=(-\(\frac{1}{2}\)-\(\frac{1}{2}\)+1)+(-\(\frac{1}{2}\)-\(\frac{1}{2}\)+1)+.....+cos2nπ/3
であるから(m=1,2,3,4,5......)とする。

n=3m-2のとき
(B)=-\(\frac{1}{2}\)
n=3m-1のとき
(B)=-1
n=3mのとき
(B)=0

である事を考えると

lim[n→∞]\(\frac{1}{n}\)(∑[k=1,n](cos2kπ/3))=0
が成立する。このことと(A)式より、
lim[n→∞]\(\frac{1}{n}\)∑[k=1,n]a(k)=2
となる。