1-cosx が中途半端なので、倍角の公式をつかって変形します。
ちなみに、∫1/(sinθ\()^{2}\) dθ= -\(\frac{1}{t}\)anθ+C

∫x/(1-cosx)dx
= ∫\(\frac{x}{2}\)(sin(\(\frac{x}{2}\))\()^{2}\) dx
= -\(\frac{x}{t}\)an(\(\frac{x}{2}\)) + ∫\(\frac{1}{t}\)an(\(\frac{x}{2}\))dx　　← 部分積分
= -\(\frac{x}{t}\)an(\(\frac{x}{2}\)) + ∫cos(\(\frac{x}{2}\))/sin(\(\frac{x}{2}\)) dx
= -\(\frac{x}{t}\)an(\(\frac{x}{2}\)) + 2log|sin(\(\frac{x}{2}\))| + C …(答え1)
= -xcos(\(\frac{x}{2}\))/sin(\(\frac{x}{2}\)) + log( sin(\(\frac{x}{2}\)\()^{2}\) ) +C
= -2xsin(\(\frac{x}{2}\))cos(\(\frac{x}{2}\))/2( sin(\(\frac{x}{2}\)\()^{2}\) ) + log( 2sin(\(\frac{x}{2}\)\()^{2}\) ) -log2 + C
= -xsinx/(1-cosx) + log(1-cosx) + C　…(答え2)

答え1の時点で終了ではあるのですが、\(\frac{x}{2}\)が出るのを嫌った場合、
答え2のようになります。