a1 = 1 , a2 = \(\frac{1}{2}\) ,
an = {2a_(n+1)a_(n-1)} / {a_(n+1)+a_(n-1)} （n=2,3,・・・）
をみたす数列｛an｝の一般項を求めよ。
★希望★完全解答★
a1 = 1 , a2 = \(\frac{1}{2}\) ,
an = {2a_(n+1)a_(n-1)} / {a_(n+1)+a_(n-1)} （n=2,3,・・・）
をみたす数列｛an｝の一般項を求めよ。
★希望★完全解答★
与えられた漸化式の両辺の逆数をとって整理すると
｛１／ａ(n+1)｝＝２／ａ(n)－｛１／ａ(n-1)｝
１／ａ(n)＝ｂ(n)とおくと
ｂ(n+1)＝２ｂ(n)－ｂ(n-1) （n≧２）
よって
ｂ(n+1)－ｂ(n)＝ｂ(n)－ｂ(n-1)
すなわちｂ(n)は等差数列で、
ｂ(n+1)－ｂ(n)＝ｂ(n)－ｂ(n-1)＝ｂ(n-1)－ｂ(n-2)
＝・・・・＝ｂ(2)－ｂ(1)＝２－１＝１
となり、公差は１
よって
ｂ(n)＝１＋（ｎ－１）（１）
＝ｎ
したがって
ａ(n)＝１／ｂ(n)＝１／ｎ・・・（答）