この質問は、大学１年後期あるいは２年前期の問題だと思われます。
（高校の問題だったらごめんね！）

（a）の特異点は、ｚ=0,ｚ=1
（b）の特異点は、ｚ=0
と思うのですが、ここから留数は、求められませんか？
　質問者さん、教えてください。

f(z)=(z+1)/{(\(z^{2}\))(z-1\()^{3}\)}とおいて，
Res[f(z);0]
=(\(\frac{1}{1}\)!)lim[z→0](\(\frac{d}{d}\)z)[(\(z^{2}\))*f(z)]
=lim[z→0](\(\frac{d}{d}\)z)[(z+1)/(z-1\()^{3}\)]
=lim[z→0](-2z-4)/(z-1\()^{4}\)
=-4

Res[f(z);1]
=(\(\frac{1}{2}\)!)lim[z→1](\(d^{2}\)/d\(z^{2}\))[(z-1\()^{3}\)*f(z)]
=(\(\frac{1}{2}\))lim[z→1](\(d^{2}\)/d\(z^{2}\))[(z+1)/\(z^{2}\)]
=(\(\frac{1}{2}\))lim[z→1](-2z+6)/\(z^{4}\)
=2

(\(z^{2}\))sin(\(\frac{1}{z}\))
=(\(z^{2}\)[(\(\frac{1}{z}\))-{1/(3!\(z^{3}\))}+{1/(5!\(z^{5}\))}-{1/(7!\(z^{7}\))}+…]

∴Res[(\(z^{2}\))sin(\(\frac{1}{z}\));0]=\(\frac{1}{3}\)!