∫x*exp(-\(x^{2}\))dx=[(-\(\frac{1}{2}\))exp(-\(x^{2}\))]
=0-(-\(\frac{1}{2}\))=\(\frac{1}{2}\)

式がいまいち怪しいのですが
ｘ・ｅ^(-\(x^{2}\))ということで解答します。
ｘ・ｅ^(-\(x^{2}\))の不定積分が
（－\(\frac{1}{2}\)）ｅ(-\(x^{2}\))＋Ｃであることはすぐに解ります。
納得できない場合は
ｅ(-\(x^{2}\))＝ｔとおいて、置換積分をしてください。
以上から
∫(0→∞)ｘ・ｅ^(-\(x^{2}\))ｄｘ
＝lim(α→∞)［(-\(\frac{1}{2}\))ｅ^(-\(x^{2}\))］(x=0→α)＝１／２・・・（答）