0＜a＜b＜c＜dのとき、次の大小を比較せよ。
\(\frac{a}{d}\) , \(\frac{c}{b}\) , (a+c)/(b+d) , a\(\frac{c}{b}\)d
答えは解るのですが、なぜ
a\(\frac{c}{b}\)d ＜ (a+c)/(b+d)
が、成り立つのか解りません。
よろしくお願いします。
★希望★完全解答★
0＜a＜b＜c＜dのとき、次の大小を比較せよ。
\(\frac{a}{d}\) , \(\frac{c}{b}\) , (a+c)/(b+d) , a\(\frac{c}{b}\)d
答えは解るのですが、なぜ
a\(\frac{c}{b}\)d ＜ (a+c)/(b+d)
が、成り立つのか解りません。
よろしくお願いします。
★希望★完全解答★
愚直に差を取って比較しましょう。
(a+c)/(b+d) - a\(\frac{c}{b}\)d
= ( bd(a+c)-ac(b+d) )/bd(b+d)
= ( abd + bcd - abc -acd )/bd(b+d)
※後は都合の良くなるように、+の項と-の項を組み合わせる
= ( ab(d-c) + cd(b-a) )/bd(b+d)
＞ 0
後は、
\(\frac{a}{d}\) = a\(\frac{b}{b}\)d ＜ a\(\frac{c}{b}\)d ＜ d\(\frac{c}{b}\)d = \(\frac{c}{b}\)
\(\frac{c}{b}\) - (a+c)/(b+d)
= ( c(b+d) - b(a+c) )/b(b+d)
= ( cd - ab )/b(b+d)
＞ 0
も加味すると、
\(\frac{a}{d}\) ＜ a\(\frac{c}{b}\)d ＜ (a+c)/(b+d) ＜ \(\frac{c}{b}\) …(答え)