３ｘ＋２ｙ＝－１２ａ
２ｘ＋ａｙ＝６
この連立方程式を解くと
ｘ＝－１２（ａ^2＋１）／（３ａ－４）
ｙ＝６（３－４ａ）／（３ａ－４）　　　　　←６（３＋４ａ）／（３ａ－４）
ｘは正の整数で、ａ^2＋１＞０より　　　　　　では？（管理人）
３ａ－４＜０・・・①
なおかつ
ｙは正の整数だから
３－４ａ＜０・・・②
①②より
３／４＜ａ＜４／３
ａは整数なので　ａ＝１
実際、ａ＝１のとき
ｘ＝２４，ｙ＝６となりｘ，ｙが正の整数であることを満たす。

これと言った指針ではないですが、
ユークリッドの互除法が一番でしょうか…

3x+2y=-12a　…(1)
2x+ay=6　　…(2)

(1)×3-(2)×2, (1)×a-(2)×2 より
(3a-4)y=6(4a+3)　…(3)
(3a-4)x=-12(\(a^{2}\)+1)　…(4)

(3)に着目
yが整数のため、(3a-4)は、6(4a+3)の約数
ここで、(3a-4)=3(a-1)-1 より、(3a-4)は3の倍数ではない。
よって、(3a-4) は 2(4a+3)の約数

また、ユークリッドの互除法を行うと、
　(4a+3)×3 - (3a-4)×4 = 25
これにより、3a-4, 4a+3 の最大公約数は 25の約数
よって、3a-4 は (\(\frac{6}{3}\))×25=50 の約数

(4)に着目
右辺は負、x は正のため、3a-4＜0
(3)に戻って
3a-4＜0, yが正のため、4a+3＜0 よって、a＜0、3a-4 ＜ -4

-4未満の50の約数を挙げると、-50, -25, -10, -5
3a-4がいずれかに等しい。よって a=-7, -2

a=-2のとき
(3)より -10y=-30 ∴y=3
(4)より -10x=-60 ∴x=6

a=-7のとき
(3)より -25y=-150 ∴y=6
(4)より -25x=-600 ∴x=24

いずれの場合も、x,yは正の整数となるため十分
a=-2,-7 …(答え)