スマートでエレガントな解答に大変興味があります。
正答かどうかまったく自信ありませんが、愚直に考えてみました。

1)ａを３個使う場合
2)ａを２個使う場合
3)ａを１個使う場合
4)ａを一つも使わない場合
で場合わけして考えてみました。

1)ａを３個使う場合
　　ａａａ○○
　　ａａ○ａ○
　　ａａ○○ａ
　　ａ○ａａ○
　　ａ○ａ○ａ
　　ａ○○ａａ
　　○ａａａ○
　　○ａａ○ａ
　　○ａ○ａａ
　　○○ａａａ
の１０通りの異なる並び方があります。
(計算では、５つの場所から３個を選ぶコンビネーションですから
5Ｃ3=5*4*3/(3*2)=10）

残り２個の並び方は、
　1-1)ｂ、ｃ、ｄ、ｅ、ｆから２つ使う(ｂ,ｃはそれぞれ多くとも１つしか選ばない)
　　場合で、一つ目にｂ～ｆの５通り、それぞれに対して二つ目には残り４通りあり
　　ますから
　　　5*4= ２０通り
　1-2)ｂｂまたはｃｃと選ぶ場合で ２通り
1-1、1-2を合わせた 20+2= ２２通りが、１０通りそれぞれに対してあるので、
　10*22= ２２０通り　・・・・・・（１）

2)ａを２個使う場合
ａの異なる並び方は、5Ｃ2で１０通り。（図は1のａと○を取り替えたものなので略
します）

残り３個の並び方で、
　2-1)ｂを２個使う場合
　　　　ｂｂ○
　　　　ｂ○ｂ
　　　　○○ｂ
　　の３通りそれぞれに対して、残り１個をｃ，ｄ，ｅ，ｆから１つ選ぶ４通りが
あるので
　　　　3*4= １２通り
　2-2)ｃを２個使う場合
　　2-1 と同様で １２通り
　2-3)ｂもｃも多くとも一つしか使わない場合
　　一つ目にｂ～ｆの５通り、それぞれに対して二つ目に残り４通り、さらに
　　それぞれに対して三つ目は残り３通りありますから
　　　　5*4*3= ６０通り
ここでも、2-1、2-2、2-3を合わせた 12+12+60= ８４通りが、１０通りそれぞれ
に対してあるので、
　10*84= ８４０通り　・・・・・・（２）

3)ａを１個使う場合
　　ａ○○○○
　　○ａ○○○
　　○○ａ○○
　　○○○ａ○
　　○○○○ａ
の５通りの異なる並び方があり、(5Ｃ1=5)
残り４個の並び方は、
　3-1)ｂを２個使う場合
　　　　ｂｂ○○
　　　　ｂ○ｂ○
　　　　ｂ○○ｂ
　　　　○ｂｂ○
　　　　○ｂ○ｂ
　　　　○○ｂｂ
　　の６通り(=4Ｃ2=4*\(\frac{3}{2}\))それぞれに対して、
　　3-1-1)ｃを２個使う場合　→　１通り
　　3-1-2)ｃを多くとも１個しか使わない場合
　　　　一つ目にｃ，ｄ，ｅ，ｆの４通り、それぞれに対して二つ目に残りの
　　　　３通りがありますから、
　　　　　4*3= １２通り
　　3-1-1、3-1-2を合わせた 1+12= １３通りが、６通りそれぞれに対してあるので、
　　　6*13= ７８通り
　3-2)ｃを２個使う場合
　3-1同様に６通りの異なる並び方それぞれに対して、
　　3-2-1)ｂを２個使う場合　→ すでに3-1-1で数えている
　　3-2-2)ｂを多くとも１個しか使わない場合　→ 3-1-2同様で １２通り
　　これらが６通りそれぞれに対してあるので、
　　　6*12= ７２通り
　3-3）ｂもｃも多くとも一つしか使わない場合
　　　一つ目にｂ～ｆの５通り、二つ目に残り４通り、三つ目に残り３通り、
　　　四つ目に残り２通りがそれぞれにありますから、掛け合わせて
　　　　5*4*3*2= １２０通り
3-1、3-2、3-3を合わせた 78+72+120= ２７０通りが、５通りそれぞれに対して
あるので、
　5*270= １３５０通り　・・・・・・（３）

4)ａを一つも使わない場合
　4-1)ｂを２個使う場合
　5Ｃ2= １０通りの異なる並び方があるが、残り３個の並び方で
　　4-1-1)ｃを２個使う場合
　　　　　　ｃｃ○
　　　　　　ｃ○ｃ
　　　　　　○○ｃ
　　　　の３通りそれぞれに対して、残り１個はｄ～ｆの３通りあるので
　　　　　3*3= ９通り
　　4-1-2)ｃを多くとも一つしか使わない場合
　　　　一つ目にｃ～ｆの４通り、二つ目にに残りの３通り、三つ目に残りの
　　　　２通りがそれぞれあるので、掛け合わせて
　　　　　4*3*2= ２４通り
　　4-1-1、4-1-2を合わせた 9+24= ３３通りが、１０通りそれぞれに対して
　　あるので、
　　　10*33= ３３０通り　・・・・・・（４）

　4-2)ｃを２個使う場合
　4-1同様、１０通りの異なる並び方に対して、残り３個の並び方を考える。
　　4-2-1)ｂを２個使う場合　→　4-1-1ですでに数えている
　　4-2-2)ｂを多くとも一つしか使わない場合　→　4-1-2同様 4*3*2= ２４通り
　　4-2-1、4-2-2、を合わせた ２４通りが、１０通りそれぞれに対してあるので、
　　　10*24= ２４０通り　・・・・・・（５）

　4-3)ｂもｃも多くとも一つしか使わない場合
　　一つ目にｂ～ｆの５通り、以下４、３、２通りあるので、掛け合わせて、
　　　5*4*3*2= １２０通り　・・・・・・（６）

以上、（１）～（６）ですべての異なる並び方を数えた（と思う）ので

　　220+840+1350+330+240+120= ３１００通り