ｘｙ平面上の領域Ｄ（円の周および内部）は
Ｄ：｛ｘ^2＋ｙ^2≦ａｘ｝です。
また
ｚ＝\(\sqrt{\quad}\)（ａ^2－ｘ^2－ｙ^2）とし、求める面積をＶとすると
Ｖ＝２∫∫D　ｚ　ｄｘｄｙ
（これは図示して確かめて欲しいです）
ここで、領域Ｄを極座標に変換します
すなわち
ｘ＝ｒｃｏｓθ，ｙ＝ｒｓｉｎθとすると
領域Ｄは
Ｍ：｛０≦ｒ≦ａｃｏｓθ，－π／２≦θ≦π／２｝に写ります
このときヤコビアンはＪ＝ｒ
以上から体積を計算（省略）すると
体積＝（２／９）ａ^3（３π－４）となります。

z=t (-a≦t≦a) による断面積を S(t) とした時、
図形の xy平面に関する対称性から、

　体積 V=∫[-a,a] S(t)dt = 2∫[0,a] S(t)dt

z=t ( 0≦t≦a ) による断面は、

　(1) \(x^{2}\)+\(y^{2}\)≦\(a^{2}\)-\(t^{2}\)　… 点A(0,0,t)を中心とし、半径\(\sqrt{\quad}\)(\(a^{2}\)-\(t^{2}\))の円
　(2) \(x^{2}\)-ax+\(y^{2}\)≦0　… 点B(\(\frac{a}{2}\),0,t)を中心とし、半径 \(\frac{a}{2}\) の円

の共有部分
この2円の円周の共有点C,Dは、 ((\(a^{2}\)-\(t^{2}\))/a, \(\pm\)\(\frac{t}{a}\)・\(\sqrt{\quad}\)(\(a^{2}\)-\(t^{2}\)), t)
S(t)は、扇型ACD - △ACD + 扇形BCD - △BCD　(もしくは +△BCD)
ここで、扇形ACDの中心角を 2θ、扇形BCDの中心角を 4φと置くと、
( 0≦θ,φ≦π/2 )

　\(\sqrt{\quad}\)(\(a^{2}\)-\(t^{2}\))sinθ=\(\frac{t}{a}\)・\(\sqrt{\quad}\)(\(a^{2}\)-\(t^{2}\))　…(3)
　\(\frac{a}{2}\) - \(\frac{a}{2}\)・cos(2φ) = (\(a^{2}\)-\(t^{2}\))/a　…(4)
　※円の中心の x座標から、半径×余弦を引くと、C,Dのx座標

(3)より、
　a sinθ = t
(4)より
　cos(2φ) = 1-2(\(a^{2}\)-\(t^{2}\))/\(a^{2}\)
　2(cosφ\()^{2}\) - 1 = 1-2(\(a^{2}\)-\(t^{2}\))/\(a^{2}\)
　(cosφ\()^{2}\) = 1-(\(a^{2}\)-\(t^{2}\))/\(a^{2}\) = \(t^{2}\)/\(a^{2}\)
　a cosφ = t

面積を計算すると、
S(t)
= (\(a^{2}\)-\(t^{2}\))(θ-sinθcosθ) + \(a^{2}\)/4・(2φ-(sin2φ)(cos2φ))
= \(a^{2}\)( (θ(cosθ\()^{2}\)-sinθ(cosθ\()^{3}\)) + \(\frac{1}{2}\)・(φ-sinφcosφ+2(sinφ\()^{3}\)cosφ) )
※ 扇形 - 三角形
　= 2×( \(\frac{1}{2}\)×半径×半径×中心角の半分 - \(\frac{1}{2}\)×(半径×中心角の半分の正弦)
　　　　×(半径×中心角の半分の余弦) )
　= 半径×半径×(中心角の半分 - sin(中心角の半分)cos(中心角の半分))

以下積分(置換積分)

　acosθdθ=dt
　-a・sinφ=dt
　cos(3θ)=4(cosθ\()^{3}\)-3cosθ

より、

∫S(t)dt
= \(a^{2}\)∫(cosθ\()^{2}\)(θ-sinθcosθ)dt
　　　　+ \(a^{2}\)/2・∫(φ-sinφcosφ+2(sin^φ\()^{3}\)cosφdt
= \(a^{3}\)( ∫(θ(cosθ\()^{3}\)-sinθ(cosθ\()^{4}\))dθ
　　　　- \(\frac{1}{2}\)・∫(φsinφ - (sinφ\()^{2}\)cosφ + 2(sinφ\()^{4}\)cosφ )dφ )
= \(a^{3}\)( \(\frac{1}{4}\)・∫θcos(3θ)dθ
　　　　+ \(\frac{3}{4}\)・∫θcosθdθ
　　　　+ \(\frac{1}{5}\)・(cosθ\()^{5}\)
　　　　+ \(\frac{1}{2}\)・φcosφ - \(\frac{1}{2}\)・∫cosφdφ
　　　　+ \(\frac{1}{6}\)・(sinφ\()^{3}\)
　　　　- \(\frac{1}{5}\)・(sinφ\()^{5}\) )
= \(a^{3}\)( \(\frac{1}{12}\)・θsin(3θ) - \(\frac{1}{12}\)・∫sin(3θ)dθ
　　　　+ \(\frac{3}{4}\)・θsinθ - \(\frac{3}{4}\)・∫sinθdθ
　　　　+ \(\frac{1}{5}\)・(cosθ\()^{5}\)
　　　　+ \(\frac{1}{2}\)・cosφ・φ - \(\frac{1}{2}\)・sinφ
　　　　+ \(\frac{1}{6}\)・(sinφ\()^{3}\)
　　　　- \(\frac{1}{5}\)・(sinφ\()^{5}\) )
= \(a^{3}\)( \(\frac{1}{12}\)・θsin(3θ) + \(\frac{1}{36}\)・cos(3θ)
　　　　+ \(\frac{3}{4}\)・θsinθ + \(\frac{3}{4}\)・cosθ
　　　　+ \(\frac{1}{5}\)・(cosθ\()^{5}\)
　　　　+ \(\frac{1}{2}\)・cosφ - \(\frac{1}{2}\)・sinφ
　　　　+ \(\frac{1}{6}\)・(sinφ\()^{3}\)
　　　　- \(\frac{1}{5}\)・(sinφ\()^{5}\) ) +C

∫[0,a]S(t)dt
= \(a^{3}\)[ \(\frac{1}{12}\)・θsin(3θ) + \(\frac{1}{36}\)・cos(3θ) + \(\frac{3}{4}\)・θsinθ
　+ \(\frac{3}{4}\)・cosθ + \(\frac{1}{5}\)・(cosθ\()^{5}\) ][0,π/2]
　+\(a^{3}\)[ \(\frac{1}{2}\)・cosφ・φ - \(\frac{1}{2}\)・sinφ + \(\frac{1}{6}\)・(sinφ\()^{3}\) - \(\frac{1}{5}\)・(sinφ\()^{5}\) ][π/2,0]
= \(a^{3}\)(-π/24-\(\frac{1}{36}\)+3π/8-\(\frac{3}{4}\)-\(\frac{1}{5}\))+\(a^{3}\)(\(\frac{1}{2}\)-\(\frac{1}{6}\)-\(\frac{1}{5}\))
= \(a^{3}\)(π/3 - \(\frac{38}{45}\))

V=2∫[0,a]S(t)dt=\(a^{3}\)(2π/3 - \(\frac{76}{45}\)) …(答え)