ベクトル (a1,a2), (b1,b2), (c1,c2) が一次従属
⇔ ある p,q,r ( p,q,rのいずれかは0と異なる )が存在して
　p(a1,a2) + q(b1,b2) + r(c1,c2) = (0,0)

今、等式
(b1c2-b2c1) (a1,a2) + (c1a2-c2a1) (b1,b2) + (a1b2-a2b1) (c1,c2) = 0

より、b1c2≠b2c1 であれば、b1c2-b2c1≠0 であるため、3ベクトルは一次従属

b1c2=b2c1 であれば、
0(a1,a2) + c2(b1,b2) + (-b2)(c1,c2) = (0,0)
かつ
0(a1,a2) + c1(b1,b2) + (-b1)(c1,c2) = (0,0)

よって、b1,b2,c1,c2のいずれかが 0と異なれば、3ベクトルは一次従属

b1=b2=c1=c2=0 であれば、
0(a1,a2) + q(b1,b2) + r(c1,c2) = (0,0)
が、任意の q,r で成立するため、3ベクトルは一次従属

いずれの場合でも、3ベクトルが一次従属であることが示された。

※行列と一次変換
(a1 b1)(x)=(c1)
(a2 b2)(y) (c2)
を Ａｘ=ｃ と表せば、ｘ=inv(Ａ)ｃ　( inv(Ａ)はＡの逆行列…もし存在すれば )
これを元に、分母を払って整理すれば、
　(b1c2-b2c1) (a1,a2) + (c1a2-c2a1) (b1,b2) + (a1b2-a2b1) (c1,c2) = 0
の等式が得られます。

質問＜２００７＞を参照してください