①集合A,B,Cに関し,次の性質が成り立つことを示せ。
(分配法則を用いてよい.)
○C⊂A⇔A∩(B∪C)=(A∩B)∪C
C⊂A⇒A∩(B∪C)=(A∩B)∪Cは証明できるのですが
C⊂A←A∩(B∪C)=(A∩B)∪Cがわかりません…
②写像f：R~2\(\vec{R}\\()^{2}\),ｆ(x,y)=(ax+by,cx+dy)が全単射と
なる為の必要十分条件を求めよ。（a,b,c,d∈R）
という問題の単射の必要十分条件がわかりません…
どなたか詳しく教えていただけないでしょうか…
お願いします。
★希望★完全解答★
1.
一応、両方向いきます。
(a)→について証明
まず、任意のA,Cに対して A⊂A∪C が成立するため、
A⊂A∪C
⇒ A∩(B∪C)⊂(A∪C)∩(B∪C)
⇔ A∩(B∪C)⊂(A∩B)∪C
も成立する。
今、C⊂A が成立する時、
C⊂A
⇒ C∩C⊂A∩C
⇔ C⊂A∩C
⇒ (A∩B)∪C⊂(A∩B)∪(A∩C)
⇔ (A∩B)∪C⊂A∩(B∪C)
よって、
C⊂A
⇒ (A∩B)∪C⊂A∩(B∪C)
⇔ (A∩B)∪C⊂A∩(B∪C) かつ A∩(B∪C)⊂(A∩B)∪C
⇔ (A∩B)∪C = A∩(B∪C)
(b)←について証明
(A∩B)∪C = A∩(B∪C)
⇒ (A∩B)∪C = A∩(B∪C) かつ (A∩B)∪C⊂A かつ C⊂A∩(B∪C)
⇔ C⊂A∩(B∪C)=(A∩B)∪C⊂A
⇒ C⊂A
(a),(b)より、C⊂A ⇔ (A∩B)∪C = A∩(B∪C)
※今回は、次のような法則を使っています。
X∩(Y∪Z)=(X∩Y)∪(X∩Z)
(X∩Y)∪Z=(X∪Z)∩(Y∪Z)
X⊂X∪Y
X∩X=X
X⊂Y ⇒ X∩Z⊂Y∩Z
X⊂Y ⇒ X∪Z⊂Y∪Z
X=Y ⇔ X⊂Y かつ Y⊂X
X=Y∩Z ⇒ X⊂Y∩Z ⇒X⊂Y
X∪Y=Z ⇒ X∪Y⊂Z ⇒X⊂Z
X⊂Y⊂Z ⇒ X⊂Z
2.
表現行列(2次正方行列)
(a b)
(c d)
による一次変換そのものです。
全単射⇔逆変換が存在⇔逆行列が存在
すなわち、ad-bc≠0 が必要十分