証明の最終形が (x-1)(y-1)(z-1)=0 であることと、
3乗の和が出てくることから、
　\(a^{3}\)+\(b^{3}\)+\(c^{3}\)-3abc=(a+b+c)(\(a^{2}\)+\(b^{2}\)+\(c^{2}\)-ab-bc-ca)
を利用します。

(x-1\()^{3}\)+(y-1\()^{3}\)+(z-1\()^{3}\)-3(x-1)(y-1)(z-1)
=(x-1+y-1+z-1)((x-1\()^{2}\)+(y-1\()^{2}\)+(z-1\()^{2}\)-(x-1)(y-1)-(y-1)(z-1)-(z-1)(x-1))
=(x+y+z-3)((x-1\()^{2}\)+(y-1\()^{2}\)+(z-1\()^{2}\)-(x-1)(y-1)-(y-1)(z-1)-(z-1)(x-1))
=0　(∵x+y+z=3)

よって
3(x-1)(y-1)(z-1)=(x-1\()^{3}\)+(y-1\()^{3}\)+(z-1\()^{3}\)=0

ゆえに x=1 または y=1 または z=1

ｘ－１＝ａ，ｙ－１＝ｂ，ｚ－１＝ｃとおくと
条件より
ａ＋ｂ＋ｃ＝０，ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3＝０
ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3－３ａｂｃ
＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2－ａｂ－ｂｃ－ｃａ）
＝０（∵ａ＋ｂ＋ｃ＝０）
∴ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3＝３ａｂｃ＝０（∵ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3＝０）
すなわち
ａｂｃ＝０だから
ａ＝０またはｂ＝０またはｃ＝０　なので
ａ，ｂ，ｃのうち少なくとも１つは０に等しい
つまり
ｘ，ｙ，ｚのうち少なくとも１つは１に等しい