y=\(x^{2}\) の導関数 y'=2x より、
x=a における y=\(x^{2}\) の接線は、
　y=2a(x-a)+\(a^{2}\) すなわち y=2ax-\(a^{2}\)
同様に、x=b (a＜b) における接線は、
　y=2bx-\(b^{2}\)

この2接線が点(1,t)を通る時、
　t=2a-\(a^{2}\)　…(1)
　t=2b-\(b^{2}\)　…(2)

(1),(2)辺々引いて
　2a-\(a^{2}\)=2b-\(b^{2}\)
　0=(a-b)(a+b-2)
　a+b=2　(∵a≠b)

また、2接線が垂直な時、傾きの積が -1、よって
　4ab=-1
　ab=-\(\frac{1}{4}\)

(1),(2)辺々足して
　2t=2(a+b)-(\(a^{2}\)+\(b^{2}\))
　　=2(a+b)-(a+b\()^{2}\)+2ab
　　=2・2-\(2^{2}\)+2・(-\(\frac{1}{4}\))
　　=-\(\frac{1}{2}\)
よって、t=-\(\frac{1}{4}\) …(答え)
この条件を満たす a,b は、方程式 \(p^{2}\)-2p-\(\frac{1}{4}\)=0 の2解、
(a,b)=(1-\(\sqrt{\quad}\)\(\frac{5}{2}\), 1+\(\sqrt{\quad}\)\(\frac{5}{2}\)) が存在する。