「直線ｌ：ｙ＝ｘ＋aが曲線C：ｙ＝ｘ^3ーｘ^2＋１に接しているとき、
次の問いに答えよ。ただし、a＝０ではないものとする。
（１）aの値を求めよ。
（２）曲線Cと接線ｌの共有点の座標を求めよ。」
という問題で、（１）はa＝\(\frac{32}{27}\)となり、答えも合っていました。
（２）の答えで座標が（-\(\frac{1}{3}\),\(\frac{32}{27}\)）とでました。
しかし答えを見るともう一つ答えがあり、その答えが（\(\frac{5}{3}\),\(\frac{77}{27}\)）だった
のですが、これをどのようにして出せばいいのかわかりません。
★希望★完全解答★
（１）
曲線Ｃを微分して、ｙ′＝３ｘ^2－２ｘ
直線ｌは接線だから、傾き１が上の微分した式と等しくなるので、
３ｘ^2－２ｘ＝１
これを解いて、
３ｘ^2－２ｘ－１＝０
（３ｘ＋１）（ｘ－１）＝０
∴ｘ＝－１／３，１
接点のｙ座標は、ｙ＝ｘ^3－ｘ^2＋１に代入して求めると、
（－１／３，２３／２７）と（１，１）
直線ｙ＝ｘ＋ａに代入して、
ａ＝ｙ－ｘ＝２３／２７－（－１／３）
＝２３／２７＋１／３
＝３２／２７
または、
ａ＝ｙ－ｘ＝１－１＝０（これは除く）
（２）
３次関数のグラフと直線は共有点が場所によって、
３個、２個、１個と変化するが、接線の時は、２個となるから、
接点（－１／３，２３／２７）以外にもう１つ共有点がある。
それは、曲線Ｃ：ｙ＝ｘ^3－ｘ^2＋１と直線ｌ：ｙ＝ｘ＋３２／２７
の共有点だから、連立して、
ｘ^3－ｘ^2＋１＝ｘ＋３２／２７
ｘ^3－ｘ^2－ｘ－５／２７＝０
（ｘ＋１／３）^2（ｘ－５／３）＝０
∵（ｘ^3－ｘ^2－ｘ－５／２７）÷（ｘ＋１／３）^2
＝（ｘ^3－ｘ^2－ｘ－５／２７）÷｛ｘ^2＋（２／３）ｘ＋１／９｝
＝ｘ－５／３
したがって、ｘ＝５／３
ｙ＝ｘ＋３２／２７に代入して、
ｙ＝５／３＋３２／２７
＝７７／２７
もう一つの共有点の座標は（５／３，７７／２７）……（答）
（２）は解答を見ると答えが２つあり、
そのうちの一つは（-\(\frac{1}{3}\),\(\frac{23}{27}\)）で、
ｙ＝ｘ^3ーｘ^2＋１に（１）でわかったｘ座標
（-\(\frac{1}{3}\)）を代入すれば求めることが出来たのですが、
もう一つの答え（\(\frac{5}{3}\),\(\frac{77}{27}\)）をどうやって求めればいいのかわかりません。
ｘ＝－１／３は、直線ｌと曲線Ｃの接する点のｘ座標ですが、
ｘ＝５／３は、直線ｌと曲線Ｃが交わる点のｘ座標ですので、
直線の式に代入すれば、ｙ座標が出せます。
具体的にグラフを書くと、下図のようになります。
