三角形ABCは∠BAC=90°の直角三角形である。
A（0,0,0） B(3,0,0) C(0,4,0)になるようにXYZ座標を定める。
ここで、D(x,y,z)とおく。
　　A\(D^{2}\)=\(x^{2}\)+\(y^{2}\)+\(z^{2}\)=\(6^{2}\)=36
　　B\(D^{2}\)=(x-3\()^{2}\)+\(y^{2}\)+\(z^{2}\)=\(7^{2}\)=49
　　C\(D^{2}\)=\(x^{2}\)+(y-4\()^{2}\)+\(z^{2}\)=\(8^{2}\)=64
これらを解いて
　　|z|=1199^(\(\frac{1}{2}\))/6
うまくかけなくてすいません。

したがって、
四面体　は底面積が３×４÷２の直角三角形で高さが1199^(\(\frac{1}{2}\))/6の四面体である。

ゆえに、求める体積は1199^(\(\frac{1}{2}\))/3である。
かなり省略していて、わかりにくいと思います。
初めてなので、勘弁してください。