(1)
si\(n^{2}\)(2x)+6si\(n^{2}\)(x)≦4
si\(n^{2}\)(2x)+3(1-cos2x)≦4
1-co\(s^{2}\)(2x)+3-3cos2x≦4
co\(s^{2}\)(2x)+3cos2x≧0
cos2x(cos2x+3)≧0
cos2x+3>0であるから
cos2x≧0
したがって、求める範囲は
0≦x≦π/4
3π/4≦x≦5π/4
7π/4≦x<2π

(2)
5si\(n^{2}\)(x)+si\(n^{2}\)(2x)＞4cos2x
10si\(n^{2}\)(x)+2si\(n^{2}\)(2x)＞8cos2x
5(1-cos2x)+2(1-co\(s^{2}\)(2x))＞8cos2x
2co\(s^{2}\)(2x)+13cos2x-7＜0
(2cos2x-1)(cosx+7)＜0
cosx+7＞0であるから
2cos2x-1＜0
cos2x＜\(\frac{1}{2}\)
したがって求める範囲は
π/6＜x＜5π/6
7π/6＜x＜11π/6

(3)
sinx+sin2x≦cosx+cos2x
2sin(3\(\frac{x}{2}\))cos(\(\frac{x}{2}\))≦2cos(3\(\frac{x}{2}\))cos(\(\frac{x}{2}\))
cos(\(\frac{x}{2}\))(sin(3\(\frac{x}{2}\))-cos(3\(\frac{x}{2}\)))≦0
cos(\(\frac{x}{2}\))sin(3\(\frac{x}{2}\)-π/4)≦0
したがって、
cos(\(\frac{x}{2}\))≧0かつsin(3\(\frac{x}{2}\)-π/4)≦0
または
cos(\(\frac{x}{2}\))≦0かつsin(3\(\frac{x}{2}\)-π/4)≧0
したがって、求める範囲は、
0≦x≦π/6
5π/6≦x≦π
3π/2≦x＜2π
かなり見ずらい解答になってしまいました。

(1)(2)は倍角の定理を用いた式変形で解くのが楽だろう。
(3)はグラフで考えたい。図は省略するが、分かりにくければ実際に描くと良い。

(1)
倍角の公式でsin(x)に統一し
4si\(n^{2}\)(x)*(1-si\(n^{2}\)(x))+6si\(n^{2}\)(x)≦4
簡単にするためsi\(n^{2}\)(x)=tとして整理すると
2\(t^{2}\)-5t+4≧0
因数分解して
(2t-1)(t-2)≧0
0≦t(=si\(n^{2}\)(x))≦1より
0≦t≦\(\frac{1}{2}\)
sin(x)に戻すと
-1/\(\sqrt{\quad}\)2≦sin(x)≦1/\(\sqrt{\quad}\)2
従ってこの範囲では
0≦x≦π/4　3π/4≦x≦5π/4　7π/4≦x≦2π

(2)
同様にsi\(n^{2}\)(x)=tとして倍角の公式などにより変形し
(4t-1)(t-4)＜0
従って
\(\frac{1}{2}\)＜sin(x)≦1
すなわち
π/6＜x＜5π/6

(3)
xy平面上の２点(cos(x),sin(x))と(cos(2x),sin(2x))の中点をMとすると
この問題の式は Mのx座標がy座標以上であること を意味している。
Mは原点と点N(cos(3\(\frac{x}{2}\)),sin(3\(\frac{x}{2}\)))の間にあるので、
これは 点Nのx座標がy座標以上であること とも同値である。
従ってcos(3\(\frac{x}{2}\))≧sin(3\(\frac{x}{2}\))とでき、
0≦x≦π/6　5π/6≦π≦3π/2