「展開」というのを、次のように見てみたいと思います。

(x-1+\(\frac{2}{x}\)) という項が10個あり、
その項からそれぞれ(x)、(-1)、(\(\frac{2}{x}\)) のどれかを選び出して、
それらをすべてかけ合わせると、また1つの項が出来ます。
それぞれの項から選んで出来る項を全て足し合わせた時、
それが(x-1+\(\frac{2}{x}\)\()^{10}\) の展開である、と言える事になります。

今回は定数を求める問題ですので、
10個掛け合わせたものが定数になるような組み合わせを見つけて、
それらを全部足せばいいという事です。

(2項定理と同じ考えです。詳しくは
http://www.geocities.co.jp/Technopolis-Mar\(\frac{s}{5427}\)/mat\(\frac{h}{f}\)\(e_{p}\)robab5.html
このようなページを参照してみて下さい(結局他力本願^^;))

(１) 各項から合わせて(x) を5つ、(\(\frac{2}{x}\)) を5つ選び出した場合

選び出し方は 10!/5! 通り、
選んだ項によって出来る定数は32なので、
10!/5! × 32 = 8064

(２) 各項から合わせて(x) を4つ、(\(\frac{2}{x}\)) を4つ、(-1) を2つ選び出した場合

選び出し方は 10!/(4! × 4! × 2!) 通り、
選んだ項によって出来る定数は16なので、
10!/(4! × 4! × 2!) × 16 = 50400

(３) 各項から合わせて(x) を3つ、(\(\frac{2}{x}\)) を3つ、(-1) を4つ選び出した場合

選び出し方は 10!/(3! × 3! × 4!) 通り、
選んだ項によって出来る定数は8なので、
10!/(3! × 3! × 4!) × 8 = 33600

(４) 各項から合わせて(x) を2つ、(\(\frac{2}{x}\)) を2つ、(-1) を6つ選び出した場合

選び出し方は 10!/(2! × 2! × 4!) 通り、
選んだ項によって出来る定数は4なので、
10!/(2! × 2! × 4!) × 4 = 5040

(５) 各項から合わせて(x) を1つ、(\(\frac{2}{x}\)) を1つ、(-1) を8つ選び出した場合

選び出し方は 10!/(1! × 1! × 8!) 通り、
選んだ項によって出来る定数は16なので、
10!/(1! × 1! × 8!) × 2 = 180

(６) 各項から合わせて(-1) を10個選び出した場合

選び出し方は1通り、
選んだ項によって出来る定数は1なので、
1×1=1

(１)～(６) までを全部足すと、
8064＋50400+33600+5040+180+1= [97285]

…うーん、計算ミスなどがあるかもしれません(汗)