点(-1,2)を通る傾きaの直線は、ｙ－２＝ａ（ｘ＋１）より、
ｙ＝ａｘ＋ａ＋２
この直線と放物線ｙ＝ｘ^2の交点は、連立を解けばよいから、
ｘ^2＝ａｘ＋ａ＋２
ｘ^2－ａｘ－ａ－２＝０
この２次方程式の２解をα、β（α＜β）とすると、
解と係数の関係より、α＋β＝ａ、αβ＝－ａ－２………①

（１）
図から直線の方が放物線より上にあるから、
　　　β
Ｓ＝∫　｛（ａｘ＋ａ＋２）－ｘ^2｝ｄｘ
　　　α

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　β
　＝［（ａ／２）ｘ^2＋（ａ＋２）ｘ－（１／３）ｘ^3］
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　α

　＝（ａ／２）（β^2－α^2）＋（ａ＋２）（β－α）－（１／３）（β^3－α^3）

①より、
β－α＝\(\sqrt{\quad}\)｛（α＋β）^2－４αβ｝
　　　＝\(\sqrt{\quad}\)（ａ^2＋４ａ＋８）
β^2－α^2＝（β＋α）（β－α）
　　　　　＝ａ\(\sqrt{\quad}\)（ａ^2＋４ａ＋８）
β^3－α^3＝（β－α）（β^2＋αβ＋α^2）
　　　　　＝（β－α）｛（β＋α）^2－αβ｝
　　　　　＝（ａ^2＋ａ＋２）\(\sqrt{\quad}\)（ａ^2＋４ａ＋８）

したがって、
Ｓ＝(\(\frac{a}{2}\))a\(\sqrt{\quad}\)(\(a^{2}\)+4a+8)＋(a+2)\(\sqrt{\quad}\)(\(a^{2}\)+4a+8)－(\(\frac{1}{3}\))(\(a^{2}\)+a+2)\(\sqrt{\quad}\)(\(a^{2}\)+4a+8)
　＝｛(\(a^{2}\))/2＋(a+2)－(\(\frac{1}{3}\))(\(a^{2}\)+a+2)｝\(\sqrt{\quad}\)(\(a^{2}\)+4a+8)
　＝(\(\frac{1}{6}\))（3\(a^{2}\)＋6a＋12－2\(a^{2}\)－2a－4）\(\sqrt{\quad}\)(\(a^{2}\)+4a+8)
　＝(\(\frac{1}{6}\))（\(a^{2}\)＋4a＋8）\(\sqrt{\quad}\)(\(a^{2}\)+4a+8)……（答）

（２）
Ｓ＝(\(\frac{1}{6}\))（\(a^{2}\)＋4a＋8）\(\sqrt{\quad}\)(\(a^{2}\)+4a+8)
　＝(\(\frac{1}{6}\))（\(a^{2}\)＋4a＋8）^(\(\frac{3}{2}\))

ａで微分して、
ｄＳ／ｄａ＝(\(\frac{1}{4}\))（\(a^{2}\)＋4a＋8）^(\(\frac{1}{2}\))・(2a＋4)
　　　　　＝｛(a＋2)/2｝・（\(a^{2}\)＋4a＋8）^(\(\frac{1}{2}\))

ｄＳ／ｄａ＝０とおくと、
\(a^{2}\)＋4a＋8＝（a+2）^2＋４＞０より、（ａ＋２）＝０
∴ａ＝－２

増減表
ａ｜………｜－２｜………
――――――――――――
S'｜　－　｜０　｜　＋
――――――――――――
Ｓ｜減少　｜極小｜増加

ａ＝－２のとき、最小値Ｓ＝(\(\frac{1}{6}\))｛（-2\()^{2}\)＋4(-2)＋8｝^(\(\frac{3}{2}\))
　　　　　　　　　　　　＝(\(\frac{1}{6}\))（４）^(\(\frac{3}{2}\))
　　　　　　　　　　　　＝(\(\frac{1}{6}\))８
　　　　　　　　　　　　＝８／６＝４／３……（答）