答えから推測しました。
左辺、右辺ともに、因数分解します。

左辺は簡単ですね。\(A^{2}\)－\(B^{2}\) の形だから(A+B)(A-B)。
左辺 = {\(x^{2}\)+(１+ｂ)x+ａ+ｃ}{\(x^{2}\)+(１-ｂ)x+ａ-ｃ} ・・・・(1)

右辺ですが、４次式は因数定理が使えないと因数分解は厳しいので、
必ず何かあると信じて始めます。＾＾；
# 答えから考えてるので (x+2)(x+3)は見えていますが、、、、＾＾；

因数定理を使う問題では、「組み立て除法」が使いこなせると楽で計算ミスが減ります。
※ 「組み立て除法」については他のページや文献などを参考に勉強してください。

1,-1,2,-2,…と順に組み立て除法を試みると、-2 できれいに 0 になります。
残りの３次式も　\(x^{3}\)＋０\(x^{2}\)－１１x－６ とわかり、さらに3,-3,…と組み立て除法を
試みると、-3 できれいに 0 になります。
まぁ、ここは直接代入してみても知れていますが、組み立て除法を使えば、
残りの２次式が　\(x^{2}\)－３x－２ と同時にわかります。

要するに、因数定理より
右辺 = (x+２)(x+３)(\(x^{2}\)－３x－２)

\(x^{2}\)－３x－２ は実数の範囲でこれ以上分解できませんから、

右辺 = (\(x^{2}\)+５x+６)(\(x^{2}\)－３x－２)　　・・・・(2)

(1),(2)の係数比較より、
　１+ｂ=５，ａ+ｃ=６ かつ １-ｂ=-３，ａ-ｃ=-２　・・・・(3)
または、
　１+ｂ=-３，ａ+ｃ=-２ かつ １-ｂ=５，ａ-ｃ=６　・・・・(4)

(3),(4)ともに、(a,b,c)が一意に求まり、

　　(a,b,c)=(2,\(\pm\)4,\(\pm\)4)　（複合同順）

となります。　（解答終り）

(左辺)=(\(x^{2}\)+x+a+(bx+c))(\(x^{2}\)+x+a-(bx+c)
と因数分解できることを利用すると、係数の比較の手間が省けます。

因数分解より、
(左辺)=(\(x^{2}\)+x+a+(bx+c))(\(x^{2}\)+x+a-(bx+c)
(右辺)=(x+2)(x+3)(\(x^{2}\)-3x-2)=(\(x^{2}\)+5x+6)(\(x^{2}\)-3x-2)
\(x^{2}\)-3x-2 は、有理数係数の範囲で因数分解できないため、
右辺を2次式同士の積として表した場合、(\(x^{2}\)+5x+6)(\(x^{2}\)-3x-2)の一通りに定まる。

※\(x^{2}\)-3x-2=0 の解は、無理数 (3\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)17)/2 のため

・\(x^{2}\)+x+a+(bx+c)=\(x^{2}\)+5x+6, \(x^{2}\)+x+a-(bx+c)=\(x^{2}\)-3x-2 の場合
　\(x^{2}\)+x+a=\(\frac{1}{2}\)・(\(x^{2}\)+5x+6+\(x^{2}\)-3x-2)=\(x^{2}\)+x+2
　bx+c=\(\frac{1}{2}\)・(\(x^{2}\)+5x+6-(\(x^{2}\)-3x-2))=4x+4
　よって、(a,b,c)=(2,4,4)

・\(x^{2}\)+x+a+(bx+c)=\(x^{2}\)-3x-2, \(x^{2}\)+x+a-(bx+c)=\(x^{2}\)+5x+6 の場合
　\(x^{2}\)+x+a=\(\frac{1}{2}\)・(\(x^{2}\)-3x-2+\(x^{2}\)+5x+6)=\(x^{2}\)+x+2
　bx+c=\(\frac{1}{2}\)・(\(x^{2}\)-3x-2-(\(x^{2}\)+5x+6))=-4x-4
　よって、(a,b,c)=(2,-4,-4)

まとめて、(a,b,c)=(2,\(\pm\)4,\(\pm\)4)　(複号同順)