「ｆに対応する行列の定義」 - 質問＜３０１４＞

質問＜３０１４＞

「「ｆに対応する行列の定義」」

日付２００６／３／６

質問者ピロシキ

問題は
\(R^{2}\)上の線形変換fによって
f(1)=(2), f( 1)=( 0)
(1) (0) (-1) (-2)
とするとき、次の問に答えよ。
①基本ベクトルe1,e2に対してf(e1),f(e2)を求めよ。
答えf(e1)=( 1),f(e2)=(1)
(-1) (1)
②基底{e1,e2}に関してfに対応する行列Aを求めよ。
答えA=( 1 1)
(-1 1)　＜おそらくあっているはず＞
③任意のベクトル(x)のfによる像はどのようなベクト
　 (y)
ルか？
答え( x+y)
(-x+y)
④a1=(1),a2=( 1)を\(R^{2}\)の基底として選ぶときfに対
(1) (-1)
応する行列Bを求めよ。
答えB=(1 -1)
(1 1)　＜おそらくあっているはず＞

ここで②と④に出てくるfに対応する行列の定義が分かりません。
持っている代数学のテキストには載っていなかったので良かったら教えてください。

★希望★完全解答★

お便り

日付２００６／３／７

回答者 angel

答えは合っていると思います。
以下、線形変換と行列の対応に関する話題です。

\(R^{2}\)\(\vec{R}\\()^{2}\)の線形変換 f(ｐ)=ｑに関して、
　ｐ=xｖ1+yｖ2
　ｑ=Xｖ1+Yｖ2
のように、基底(ｖ1,ｖ2)に対する線形結合を考えた時、
　X = ax+by
　Y = cx+dy
のような対応がある、
すなわち、以下の行列Ａに対して、次の等式が成立することを、
「f の表現行列がＡ」と言います。

　Ａ=(a b)
　　 (c d)

　t(X Y)=Ａ・t(x y)
　※t は転置(Transposed) … 行列の縦横を入れ替えたもの

そのため、表現行列は基底の取り方で変わります。

さて、では異なる基底に関して、表現行列がどのように対応するか
…が基底変換の話題になるわけですが、
基底となるベクトルｕ1,ｕ2 の、基底(ｖ1,ｖ2)での数ベクトル表現が
次のようになっているとき。

　ｕ1：t(p r)　つまりｕ1 = pｖ1+rｖ2
　ｕ2：t(q s)　つまりｕ2 = qｖ1+sｖ2

行列Ｎを次のように定めます。
　Ｎ=(p q)
　　 (r s)

すると、基底(ｖ1,ｖ2)に対する f の表現行列がＡの時、
基底(ｕ1,ｕ2)に対する f の表現行列は、
　inv(Ｎ)・Ａ・Ｎ
　※ inv(Ｎ)はＮの逆行列
となります。
なぜか…は、計算すれば分かります。