C1:(x-4\()^{2}\)+(y-2\()^{2}\)=20　→ 中心(4,2)、半径 2\(\sqrt{\quad}\)5 の円
C2:(x+2\()^{2}\)+(y-4\()^{2}\)=20　→ 中心(-2,4)、半径 2\(\sqrt{\quad}\)5 の円

円同士が直線に関して対称
⇔ 円の中心同士が直線に関して対称、円同士の半径が等しい

2点が直線に関して対称
⇔ その直線は、2点の垂直二等分線

という条件を利用し、(4,2),(-2,4) の垂直二等分線を求める。

この2点間の傾きは、(4-2)/(-2-4)=-\(\frac{1}{3}\)
よって、垂直二等分線は傾き 3、ゆえに p=3

また、この2点の中点は (1,3)
垂直二等分線は、この中点を通るため、y=px+q に x=1,y=3 を代入
　3=p+q、p=3 より q=0

答え p=3, q=0

Ｃ１の中心は点Ａ（４，２）
Ｃ２の中心は点Ｂ（－２，４）
Ｃ１，Ｃ２は
２点Ａ，Ｂと通る直線に垂直で
２点Ａ，Ｂの中点を通る直線でに関して対称
直線ＡＢの傾きは３
２点Ａ，Ｂの中点は（１，３）
よって円Ｃ１，Ｃ２は
ｙ－３＝３（ｘ－１）
すなわち
ｙ＝３ｘに関して対称である
∴ｐ＝３，ｑ＝０・・・（答）