すべてを書き上げるのは大変なので概要だけ書きます。

\(x^{3}\)-1=(x-1)(\(x^{2}\)+x+1)から
\(x^{3}\)=(x-1)(\(x^{2}\)+x+1)+1
A=(x-1)(\(x^{2}\)+x+1)とおくと
Aは\(x^{2}\)+x+1で割り切れます。
また、\(x^{3}\)=A+1
\(x^{20}\)+a\(x^{10}\)+b
=\(x^{2}\)*(\(x^{3}\)\()^{6}\)+ax*(\(x^{3}\)\()^{3}\)+b
=\(x^{2}\)*(A+1\()^{6}\)+ax*(A+1\()^{3}\)+b
（二項定理を利用して）
=\(x^{2}\)*{Aの倍数（その１）+1}+ax*{Aの倍数（その２）+1}+b
=Aの倍数（その３）+\(x^{2}\)+ax+b
Aは\(x^{2}\)+x+1で割り切れるから
\(x^{20}\)+a\(x^{10}\)+bが\(x^{2}\)+x+1で割り切れるためには
\(x^{2}\)+ax+bが\(x^{2}\)+x+1で割り切れることなので
a=b=1・・・（答）
もう少しエレガントにいかないものか？？？