問１
①

正弦定理より
sinＡ＝６／ｂ、sinＡ＝３／ｃより、６／ｂ＝３／ｃ
ｂ：ｃ＝６：３＝２：１＝４：２
sinＢ＝４／ｃ、sinＢ＝６／ａより、４／ｃ＝６／ａ
ａ：ｃ＝６：４＝３：２
したがって、ａ：ｂ：ｃ＝３：４：２……（答）

②

比の中の最小の辺ｃの対頂角Ｃの余弦は、余弦定理より、
角度なので、辺の比の状態でも求まる。
　　　　ａ² ＋ｂ² －ｃ² 　　３² ＋４² －２² 　９＋１６－４
cosＣ＝────────＝────────＝───────
　　　　　　２ａｂ　　　　　２・３・４　　　　　２４

　　　２１　７
　　＝──＝─　……（答）
　　　２４　８

③
　　　　　　　　　　　　　４９　１５
sin² Ｃ＝１－cos² Ｃ＝１－──＝──
　　　　　　　　　　　　　６４　６４
∠Ｃは最小なので鋭角となるから、sinＣ＞０より、
　　　　\(\sqrt{\quad}\)１５
sinＣ＝────
　　　　　８
sinＣ＝３／ａより、

　　　　　３　　　　２４　２４\(\sqrt{\quad}\)１５　８\(\sqrt{\quad}\)１５
ａ＝──────＝───＝─────＝────　……（答）
　　　\(\sqrt{\quad}\)１５　　　\(\sqrt{\quad}\)１５　　１５　　　　　５
　　　────
　　　　　８
ａ：ｂ：ｃ＝３：４：２より、

　　４　　　４　８\(\sqrt{\quad}\)１５　３２\(\sqrt{\quad}\)１５
ｂ＝─・ａ＝─・────＝─────　……（答）
　　３　　　３　　　５　　　１５

　　２　　　２　８\(\sqrt{\quad}\)１５　１６\(\sqrt{\quad}\)１５
ｃ＝─・ａ＝─・────＝─────　……（答）
　　３　　　３　　　５　　　１５

問２

正８角形の１つの三角形の内角は、３６０°÷８＝４５°
三角形の面積の公式より、
Ｓ＝（１／２）・１・１・sin４５°
　＝（\(\sqrt{\quad}\)２）／４
正８角形の面積は８倍して、
８Ｓ＝２\(\sqrt{\quad}\)２　……（答）

問３

△ＣＤＥにおいて、ＤＥ＝ａsin６０°＝（\(\sqrt{\quad}\)３ａ）／２
垂心Ｈは△ＢＣＤの重心だから、ＤＥを２：１に内分する。
　　　　　　２　\(\sqrt{\quad}\)３ａ　２　\(\sqrt{\quad}\)３
ＤＨ＝ＤＥ・─＝───・─＝──ａ
　　　　　　３　　２　　３　　３
△ＡＤＨより、
　　　　　　　　\(\sqrt{\quad}\)３
　　　　　　　　──ａ
　　　　ＤＨ　　　３　　　\(\sqrt{\quad}\)３
cosθ＝───＝────＝───
　　　　ＡＤ　　　ａ　　　　３
図より、sinθ＞０
　　　　　　　　　　　　　３　６　２
sin² θ＝１－cos² θ＝１－─＝─＝─
　　　　　　　　　　　　　９　９　３
　　　　\(\sqrt{\quad}\)２　　\(\sqrt{\quad}\)６
sinθ＝───＝───
　　　　\(\sqrt{\quad}\)３　　　３
したがって、
　　　　　　　　　　\(\sqrt{\quad}\)６
ＡＨ＝ａsinθ＝ａ・───
　　　　　　　　　　　３
底面△ＢＣＤの面積は
　　１　　　　　　　１　　　\(\sqrt{\quad}\)３　　\(\sqrt{\quad}\)３
Ｓ＝─・ＢＣ・ＤＥ＝─・ａ・──ａ＝──ａ²
　　２　　　　　　　２　　　　２　　　４
１辺ａの四面体の体積は
　　１　　　　　　１　\(\sqrt{\quad}\)６　　\(\sqrt{\quad}\)３
Ｖ＝─・ＡＨ・Ｓ＝─・──ａ・──ａ²
　　３　　　　　　３　　３　　　４

　　\(\sqrt{\quad}\)１８　　　３\(\sqrt{\quad}\)２　　　\(\sqrt{\quad}\)２
　＝───ａ³ ＝───ａ³ ＝──ａ³ 　……（答）
　　　３６　　　　３６　　　１２

この正四面体に外接する球の半径をｒとすると、

△ＡＤＨにおいて、
∠ＤＡＨ＝９０°－θ
二等辺三角形△ＡＯＤより、
ａ＝２・ｒ・cos∠ＤＡＨ＝２ｒcos（９０°－θ）＝２ｒsinθ

　　　　　\(\sqrt{\quad}\)６
　＝２ｒ・──
　　　　　　３
したがって、
　　　　　３　　３\(\sqrt{\quad}\)６　　\(\sqrt{\quad}\)６
ｒ＝ａ・───＝───ａ＝──ａ　……（答）
　　　　２\(\sqrt{\quad}\)６　　１２　　　４

問４
文章の中に誤字がありましたが、「対抗店」とは「最高点」でしょうか？

板の中に開けた三角形の３辺１３，１４，１５の中にはまる内接円の半径
ｒを求めてみると、

ヘロンの公式より、２ｓ＝１３＋１４＋１５＝４２
ｓ＝２１
Ｓ＝\(\sqrt{\quad}\)｛２１・（２１－１３）（２１－１４）（２１－１５）｝
　＝\(\sqrt{\quad}\)（２１・８・７・６）＝\(\sqrt{\quad}\)７０５６＝８４
また、３つの三角形の面積の和より、
Ｓ＝（１／２）・１４ｒ＋（１／２）・１５ｒ＋（１／２）・１３ｒ
　＝（ｒ／２）・（１４＋１５＋１３）
　＝（ｒ／２）・４２＝２１ｒ
したがって、
８４＝２１ｒ
∴ｒ＝４
半径５の球ははまるだけで、下に落ちないから

この図より、
ＯＰ² ＝ＯＨ² ＋ＰＨ²
５² ＝ＯＨ² ＋４²
したがって、
ＯＨ² ＝９
∴ＯＨ＝３
最高点Ｔから板の水平線ＰＨまでの高さは
ＴＨ＝ＴＯ＋ＯＨ
　　＝５＋３＝８　……（答）

問５

①
△ＡＢＤにおいて、余弦定理より
ＢＤ² ＝９＋２５－３０cos１２０°
　　　＝３４－３０・（－１／２）
　　　＝４９
ＢＤ＞０より、
ＢＤ＝７　……（答）

②
三角形の面積の公式より
△ＢＣＤは正三角形だから、
　　　１　　　　　　　　　　４９\(\sqrt{\quad}\)３
Ｓ₁ ＝─・７・７sin６０°＝─────
　　　２　　　　　　　　　　　　４
△ＡＢＤより、
　　　１　　　　　　　　　　　１５\(\sqrt{\quad}\)３
Ｓ₂ ＝─・３・５sin１２０°＝─────
　　　２　　　　　　　　　　　　４
したがって、
　　　　　　　　６４\(\sqrt{\quad}\)３
Ｓ＝Ｓ₁ ＋Ｓ₂ ＝────＝１６\(\sqrt{\quad}\)３　……（答）
　　　　　　　　　　４

問６

文章の誤りがあります。「対下線」でなくて「対角線」
「ａｂｃ」でなくて「ａｂ」の２つです。
今、図の都合で、２つの対角線ａ、ｂをｐ、ｑとして求めてみます。
補助線として、頂点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄからそれぞれ対角線へ垂線を下ろします。
その長さをそれぞれａ、ｂ、ｃ、ｄとします。
コセカントを利用して、
ＯＡ＝ａcosecθ、ＯＣ＝ｃcosecθより、
ＡＣ＝ＯＡ＋ＯＣ＝（ａ＋ｃ）cosecθ
ｐ＝（ａ＋ｃ）cosecθ
同様にして
ＯＢ＝ｂcosecθ、ＯＤ＝ｄcosecθより、
ＢＤ＝ＯＢ＋ＯＤ＝（ｂ＋ｄ）cosecθ
ｑ＝（ｂ＋ｄ）cosecθ

この２式を掛けて、
ｐｑ＝（ａ＋ｃ）（ｂ＋ｄ）cosec² θ
したがって、（ａ＋ｃ）（ｂ＋ｄ）＝ｐｑ・sin² θ

四辺形の面積Ｓは、
Ｓ＝（１／２）ｐｂ＋（１／２）ｐｄ＝（１／２）ｐ（ｂ＋ｄ）
一方、
Ｓ＝（１／２）ｑａ＋（１／２）ｑｃ＝（１／２）ｑ（ａ＋ｃ）

この２式を掛けて、
　　　１　　　　　　　１　　　　　　　１
Ｓ² ＝─ｐ（ｂ＋ｄ）・─ｑ（ａ＋ｃ）＝─ｐｑ（ａ＋ｃ）（ｂ＋ｄ）
　　　２　　　　　　　２　　　　　　　４

　　　１
　　＝─ｐｑ・ｐｑ・sin² θ
　　　４
平方根をとって、
　　１
Ｓ＝─ｐｑsinθ　……（答）
　　２