d\(\frac{x}{d}\)t=-bx を解くと、d\(\frac{x}{d}\)t=A・exp(-bt)

さて、d\(\frac{x}{d}\)t=exp(-at)-bx を解くにあたり、
x=Au・exp(-bt)　(uはtの関数)と置くと、

　A(d\(\frac{u}{d}\)t-bu)exp(-bt)=exp(-at)-Abu・exp(-bt)
ゆえに
　d\(\frac{u}{d}\)t=1/A・exp((b-a)t)

a=bの時
　d\(\frac{u}{d}\)t=1/A より、u=t/A+C
　x=A(t/A+C)・exp(-bt)
　 =(t+AC)exp(-bt)

　AC=αと置く時、x=(t+α)exp(-bt)

a≠bの時
　d\(\frac{u}{d}\)t=1/A・exp((b-a)t) より、u=1/A(b-a)・exp((b-a)t)+C
　x=A・(1/A(b-a)・exp((b-a)t)+C)・exp(-bt)
　 =1/(b-a)・exp(-at)+AC・exp(-bt)

　AC=αと置く時、x=1/(b-a)・exp(-at)+α・exp(-bt)