(1）まずb∈Bなるbが存在するとBは除法に関して閉じているから　\(\frac{b}{b}\)=1∈B

さて、b∈B ∧ |b|≠1,0 とすると

|b|,|\(b^{2}\)|,|\(b^{3}\)|,|\(b^{4}\)|,|\(b^{5}\)|…は全て異なるから
b,\(b^{2}\),\(b^{3}\),\(b^{4}\),\(b^{5}\)…は全て異なり、これは矛盾

よって、b∈Bならば、|b|=1,0
ところが、0は含まないから|b|=1　…①

さて、b∈B、0＜arg(b)＜π/2　とすると
0＜arg(b)＜arg(\(b^{2}\))＜arg(b＾3)＜arg(b＾4)＜2π
だから、1とあわせて、最低5つの元を持つから矛盾

同様に　b∈B、π/2＜arg(b)＜π　
　　　　b∈B、π＜arg(b)＜3π/2
　　　　b∈B、3π/2＜arg(b)＜2π　
の時も矛盾を示せるから
　　　　　　　　　　　　arg(b)=kπ/2 (k;整数）…②
①②より　B={\(\pm\)1、\(\pm\)i｝

なんかもっと綺麗な証明ができそうなんですがすみません(^^;;


(2)Wikipediaの群論によりますと、

「群（通常の定義）
積（二項演算、二項算法） a × b が定義された空でない集合 G が以下の 3 つの条件

積 × に関する結合法則が成立する;
(a × b)× c = a ×(b × c) (for all a, b, c ∈ G)。

単位元 e が存在する; a × e = e × a = a (for all a ∈ G)
G の任意の元 a に対しその逆元 a-1 が存在する; a × a-1 = a-1 × a = e。
を満たすならば、G は群であるまたは G は（演算 × に関して）群を成すという。
ここで、「二項演算が定義されている」というのは

任意の積 a × b は G の中に存在する; a × b ∈ G (for all a, b ∈ G)。
という条件を意味するものである。 また、演算の記号 × は普通省略されて a×b は
単に ab と書かれる。」

すると、もう証明は終わってるのでは？

何度も質問がきているようなので、ミスがないように丁寧にやります(=^・^=)

[解]
４数からなる集合Ｂが乗法と除法に関して閉じてる…①
まずBは①により0を元に持たないことに注意する

∀a∈Bに対し\(\frac{a}{a}\)=1だから、①より1∈B

さて１以外のBの元の一つをｂとおくと

①より{1,b,\(b^{2}\),\(b^{3}\),\(b^{4}\)}⊆Bだから、

1,b,\(b^{2}\),\(b^{3}\),\(b^{4}\)の少なくとも一つは一致する
ここで、b≠1よりb≠\(b^{2}\),\(b^{2}\)≠\(b^{3}\),\(b^{3}\)≠\(b^{4}\)に注意すると
1=\(b^{2}\),1=\(b^{3}\),1=\(b^{4}\),b=\(b^{3}\),b=\(b^{4}\),\(b^{2}\)=\(b^{4}\)
i.e.
1=\(b^{2}\),1=\(b^{3}\),1=\(b^{4}\)

(i)\(b^{2}\)=1のとき
　b≠1だからb=-1
　∴ｃ∈B ∧ｃ≠\(\pm\)1…②　なるｃが存在
　すると(-1)・c=－c∈Bで,ｃ≠\(\pm\)1より-ｃ≠\(\pm\)1だから
　\(\pm\)1,\(\pm\)c　は異なる４数
　よって①より\(c^{2}\)=\(\pm\)1,\(\pm\)c これと②よりc=\(\pm\)i
i.e. B={\(\pm\)1,\(\pm\)i}が必要

(ii)\(b^{3}\)=1
b≠1だからb=ω　（\(x^{3}\)=1の虚根の一つをωとすると他方はω^2で、
　それらは互いに共役であることは既知とします）
　　明らかにω^2∈B なので
　c∈B ∧ｃ≠1,ω,ω^2…②なるcが存在せねばならない
するとcω＝1,ω,ω^2,c(≠0)
すなわち c=ω^2,1,ω またはω=1
これは矛盾　よって\(b^{3}\)=1の時①は成立しない

(iii)\(b^{4}\)=1のとき
　　b=-1,\(\pm\)i
b=-1なら(i)で示したごとく残りは\(\pm\)i
　　b=iなら \(b^{2}\)=-1 と残りは -i
b=-iなら \(b^{2}\)=-1 と残りは i
いずれにせよB={\(\pm\)1,\(\pm\)i}が必要

十分性は明らかなので
以上より
　　　①⇔B={\(\pm\)1,\(\pm\)i}