1.
(a+b+c\()^{2}\)
=\(a^{2}\)+\(b^{2}\)+\(c^{2}\)+2ab+2bc+2ca
=\(\frac{1}{2}\)・( (a-b\()^{2}\)+(b-c\()^{2}\)+(c-a\()^{2}\) ) + 3(ab+bc+ca)
≧ 3(ab+bc+ca)

よって、
a+b+c≧\(\sqrt{\quad}\)( 3(ab+bc+ca) )　a=b=cが等号成立

2. 相加相乗平均の関係より
(ab+bc+ca)/3≧(ab・bc・ca)^(\(\frac{1}{3}\))　ab=bc=caが等号成立

両辺を\(\frac{3}{2}\)乗すると
( (ab+bc+ca)/3 )^(\(\frac{3}{2}\))≧abc

ab+bc+ca=9 のため、1,2それぞれより
　a+b+c≧3\(\sqrt{\quad}\)3≧abc
a=b=cの時のみ、両方の等号が同時に成立する。
そのとき、a=b=c=\(\sqrt{\quad}\)3

ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ＝９とａ＋ｂ＞０より
ｃ＝（９－ａｂ）／（ａ＋ｂ）
ａ＋ｂ＋ｃ－ａｂｃ
＝ａ＋ｂ＋（９－ａｂ）／（ａ＋ｂ）－ａｂ・（９－ａｂ）／（ａ＋ｂ）
＝｛１／（ａ＋ｂ）｝（ａ^2＋ｂ^2－８ａｂ＋ａ^2ｂ^2＋９）
＝｛１／（ａ＋ｂ）｝｛（ａ－ｂ）^2＋（ａｂ－３）^2｝
≧０
等号が成り立つのは
ａ＝ｂかつａｂ＝３のときだから
ａ＝ｂ＝\(\sqrt{\quad}\)３
このときｃ＝\(\sqrt{\quad}\)３
よって
等号はａ＝ｂ＝ｃ＝\(\sqrt{\quad}\)３のときに成り立つ。