1.計算だけでいくなら
nCm=n!/( m!(n-m)! )より、
　aC(b-1)=a!/( (b-1)!(a-b+1)! )
　aCb=a!/( b!(a-b)! )
　(a+1)Cb=(a+1)!/( b!(a-b+1)! )

また、階乗の性質より、
　b!=b・(b-1)!
　(a-b+1)!=(a-b+1)・(a-b)!
　(a+1)!=(a+1)・a!

分母を通分して計算してみると、
　aC(b-1)+aCb
　=(b+(a-b+1))・a!/( b!(a-b+1)! )
　=(a+1)・a!/( b!(a-b+1)! )
　=(a+1)!/( b!(a-b+1)! )
　=(a+1)Cb

2.組み合わせの数え方に着目するなら
　1～a+1 の数から、b種類を選ぶ組み合わせを考える
　・1を選ぶ場合
　　　残り 2～a+1 の a種類の数から、(b-1)種類を選ぶ aC(b-1)通り
　・1を選ばない場合
　　　残り 2～a+1 の a種類の数から、b種類を選ぶ aCb通り
　この2つの場合で全ての場合を網羅しているため、これらの和は (a+1)Cb に等しい
　よって、aC(b-1)+aCb=(a+1)Cb

普通に計算しても等式を示すことはできます。
そう難しくないので挑戦してください。

さて、計算では簡単にできるものの
考え方をきちんと理解しておく必要があります。
a+1個からb個を取り出す組み合わせを考えるとき
a+1個に含まれる特定の1個が含まれる場合と含まれない場合に分けられます。
この意味は理解できるでしょうか？
ある特定の1個に対しては、その特定の1個に関しては
取り出したb個に含まれるか含まれないかのいずれかしかありません。
式にすると
（a+1個からb個を取り出す組み合わせ）
＝（a+1個のうち特定の1個がb個に含まれる組み合わせ）
＋（a+1個のうち特定の1個がb個に含まれない組み合わせ）
ということです。
①a+1個のうち特定の1個がb個に含まれる場合
これは、その特定の1個がb個に含まれるのだから
あとは、残りのa個からb-1個を取り出せばよいので
aＣb-1　通りあります。
②a+1個のうち特定の1個がb個に含まれない場合
特定の1個を除いてしまうので、
残りのa個からb個を取り出せばよいから
aＣb

①＋②＝b+1個からa個を取り出す組み合わせ＝a+1Ｃb
ということになります。

(a+1)Cb：異なるa+1個のものから、b個のものを取り出して作る組み合わせの個数。
これを２つの場合に分けて考える。
A={1,2,3,...,a,a+1}とする。Aから、b個のものを取り出す。

（１）a+1を含む組み合わせの個数は、残りa個からb-1個取り出して作る組み合わせ
の個数aC(b-1)通りある。

（２）a+1を含まない組み合わせの個数は、残りa個からb個取り出して作る組み合わ
せの個数aCb通りある。

（１）、（２）を合計して
aC(b-1)+aCb=(a+1)Cbとなる。