行列は書きにくいですね～(^^;;
それに、「定義を用いて」とあるからには、かなり厳密にしなきゃいけないと思うん
ですが、なんせ習ったことがないから、基本をしりません。違ってたら、堪忍

閑話休題　以下は既知とします

「二次正方行列Ａ=( a b )が逆行列をもつ
　 ( c d )

　　　　　　　　　　　　　⇔」

[解]
以下　( a b )＝Ａ　とおき、Ａの逆行列をA~と書く
　　　( c d )

まず、Ｆが全単射　⇒　ａｄ－ｂｃ≠０　を示す

Ｆが全単射とすると、Ｆは全射だから　

Ａ(ｐ)＝(1) Ａ(ｒ)＝(1)
(ｑ)　(0) (ｓ) (0)

なる、p,q,r,s が存在

すると、Ｂ＝(p q) とおけば
(r s)

　　ＡＢ＝ＥであるからＢ＝~A

~A が存在するからａｄ－ｂｃ≠０　■

次に、ａｄ－ｂｃ≠０　⇒　Ｆが全単射　を示す

（ad-bc≠０ならば、~A が存在することに注意する）

任意の(X)に対し　(x)＝~A(X) …①なる或る(x)が存在
(Y) (y) (Y) 　　 (y)

すると①の両辺に左からＡをかけて
　　　Ａ(x)=(X) が任意の(X)に対して成立
(y) (Y) (Y)
i.e.全射

さてＡ(x1)=(u) ∧ Ａ(x2)=(u) のとき
(y1) (v) (y2) (v)

　Ａ(x1)-Ａ(x2)=Ａ(x1-x2)=(0)…②
(y1) (y2) (y1-y2) (0)

②の中辺右辺に左から~Aをかけて
　(x1-x2)=~A(0)=(0)
(y1-y2) (0) (0)
　　すなわち　x1=x2,y1=y2
i.e. 単射

以上より
　　Ｆが全単射であるための必要十分条件は
　　　　　　ａｄ－ｂｃ≠０