lim[x→0]\(a^{x}\)-\(\frac{1}{x}\) (a＞0)をlim[x→0]\(e^{x}\)-\(\frac{1}{x}\)=1を用いて答えよ。
が解けません。
どなたかわかりやすく教えていただけないでしょうか？
★希望★完全解答★
lim[x→0]\(a^{x}\)-\(\frac{1}{x}\) (a＞0)をlim[x→0]\(e^{x}\)-\(\frac{1}{x}\)=1を用いて答えよ。
が解けません。
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（ 答案 ）
０＜ａ＾ｘ＜∞、０＜ｅ＾ｔ＜∞ はおのおの単調増加関数であるから
ａ＾ｘ＝ｅ＾ｔ なる等号が成立する （ｘ，ｔ） の一対一の組み合わせが
存在する。
このとき、 ｔ＝ｘｌｏｇ（ａ） から ｘ→０ ならば ｔ→０
したがって、
与式＝ｌｉｍ_{ｔ→０}[｛ａ＾（ｔ／ｌｏｇ（ａ））}－１]／｛ｔ／ｌｏｇ（ａ）｝ … ［１］
ここで、 ａ＾｛ｔ／ｌｏｇ（ａ）｝＝ｕ とおくと
ｔ／ｌｏｇ（ａ）＝ｌｏｇ（ｕ）／ｌｏｇ（ａ） で ｔ＝ｌｏｇ（ｕ） から
ａ＾｛ｔ／ｌｏｇ（ａ）｝＝ｕ＝ｅ＾ｔ
よって、
［１］＝ｌｉｍ_{ｔ→０}｛ｌｏｇ（ａ）｝[{（ｅ＾ｔ）－１}／ｔ]
＝｛ｌｏｇ（ａ）｝*１
＝ｌｏｇ（ａ） … （ 答 ）
のようになりました。