ｙ＝ｆ(ｘ)と置くと、ｆ'(ｘ)＝２ｘ＋２＝２(ｘ＋１)
よって、ｆ'(－１)＝０、ｘ＞－１のとき　ｆ'(ｘ)＞０
であることがわかる。
すなわち関数ｙ＝ｆ(ｘ)はｘ≧－１において単調増加である。
したがって、－１≦ｘ≦２においては
最小値はｙ＝ｆ(－１)＝２、最大値はｙ＝ｆ(２)＝１１

参考：ちなみにｘ＜－１のとき　ｆ'(ｘ)＜０であるから
関数ｙ＝ｆ(ｘ)はｘ＝－１で極小であることがわかる。

微分を使わない解き方
ｘ＾２＋２ｘ＋３＝(ｘ＋１)＾２＋２により同じ結果に
なることがわかる。

普通は平方完成して、グラフを書いて
－１≦ｘ≦２なので
ｙの最小値は２、最大値は１１
とするところでしょう。
微分を用いるということなので
増減表を書かせるのが問題の意図だと思います。
ｙ＝ｘ^2＋２ｘ＋３　の両辺をｘで微分すると
ｙ’＝２ｘ＋２＝２（ｘ＋１）
ｙ’＝０のときｘ＝－１
増減表は

ｘ　　　　－１　　　　２
ｙ’　－　　０　　＋
ｙ　　減　　２　　増　１１

したがって
ｘ＝－１のとき最小値２
ｘ＝２のとき最大値１１